問題は大きく分けて2種類あります。 3. 次の関数の導関数を定義に従って求める問題 (1) $ax^2 + bx + c$ (2) $x^4$ (3) $\frac{1}{x}$ (5) $\sqrt[3]{x}$ 4. 次の極限値を求める問題 (1) $\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - x - 2}{x^3 + 1}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{(2 + x)^3 - (2 - x)^3}{x}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x}$ (4) $\frac{1}{x^2}$

1. 問題の内容

問題は大きく分けて2種類あります。

3. 次の関数の導関数を定義に従って求める問題

(1) $ax^2 + bx + c$

(2) $x^4$

(3) $\frac{1}{x}$

(5) $\sqrt[3]{x}$

4. 次の極限値を求める問題

(1) $\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - x - 2}{x^3 + 1}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{(2 + x)^3 - (2 - x)^3}{x}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x}$

(4) $\frac{1}{x^2}$

2. 解き方の手順

3. 導関数を定義に従って求める。

(1) $f(x) = ax^2 + bx + c$ のとき

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{a(x+h)^2 + b(x+h) + c - (ax^2 + bx + c)}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{a(x^2 + 2xh + h^2) + bx + bh + c - ax^2 - bx - c}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2axh + ah^2 + bh}{h}$

$= \lim_{h \to 0} (2ax + ah + b) = 2ax + b$

よって、$f'(x) = 2ax + b$

(2) $f(x) = x^4$ のとき

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^4 - x^4}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{x^4 + 4x^3h + 6x^2h^2 + 4xh^3 + h^4 - x^4}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4x^3h + 6x^2h^2 + 4xh^3 + h^4}{h}$

$= \lim_{h \to 0} (4x^3 + 6x^2h + 4xh^2 + h^3) = 4x^3$

よって、$f'(x) = 4x^3$

(3) $f(x) = \frac{1}{x}$ のとき

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - (x+h)}{x(x+h)}}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{-h}{hx(x+h)} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{x(x+h)} = \frac{-1}{x^2}$

よって、$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$

(5) $f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}$ のとき

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^{1/3} - x^{1/3}}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^{1/3} - x^{1/3}}{h} \cdot \frac{(x+h)^{2/3} + (x+h)^{1/3}x^{1/3} + x^{2/3}}{(x+h)^{2/3} + (x+h)^{1/3}x^{1/3} + x^{2/3}}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{(x+h) - x}{h((x+h)^{2/3} + (x+h)^{1/3}x^{1/3} + x^{2/3})} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h((x+h)^{2/3} + (x+h)^{1/3}x^{1/3} + x^{2/3})}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{1}{(x+h)^{2/3} + (x+h)^{1/3}x^{1/3} + x^{2/3}} = \frac{1}{x^{2/3} + x^{1/3}x^{1/3} + x^{2/3}} = \frac{1}{3x^{2/3}}$

$= \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}$

よって、$f'(x) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}$

4. 極限値を求める。

(1) $\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - x - 2}{x^3 + 1} = \lim_{x \to -1} \frac{(x - 2)(x + 1)}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} = \lim_{x \to -1} \frac{x - 2}{x^2 - x + 1} = \frac{-1 - 2}{(-1)^2 - (-1) + 1} = \frac{-3}{1 + 1 + 1} = \frac{-3}{3} = -1$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{(2 + x)^3 - (2 - x)^3}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(8 + 12x + 6x^2 + x^3) - (8 - 12x + 6x^2 - x^3)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{24x + 2x^3}{x} = \lim_{x \to 0} (24 + 2x^2) = 24$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x})(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x})}{x(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x})} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x) - (1 - x)}{x(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x})} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x})} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}} = \frac{2}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{2}{2} = 1$

(4) $\frac{1}{x^2}$ は、関数そのもので、極限を求める指示がないので、解なし。

3. 最終的な答え

3. (1) $2ax + b$

(2) $4x^3$

(3) $-\frac{1}{x^2}$

(5) $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}$

4. (1) $-1$

(2) $24$

(3) $1$

(4) 解なし