3次方程式 $x^3 - 6x + 3 = 0$ の実数解の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 6x + 3 = 0$ の実数解の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

3次関数のグラフを描き、x軸との交点の数を調べることで、実数解の個数を求めることができます。

まず、$f(x) = x^3 - 6x + 3$ とおきます。

次に、$f(x)$ の導関数を計算します。

$f'(x) = 3x^2 - 6$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 6 = 0$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

増減表を作ります。

| x | ... | $-\sqrt{2}$ | ... | $\sqrt{2}$ | ... |

| ---------- | ---------- | ---------- | ---------- | ---------- | ---------- |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

$f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^3 - 6(-\sqrt{2}) + 3 = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 3 = 4\sqrt{2} + 3$

$f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 - 6(\sqrt{2}) + 3 = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 3 = -4\sqrt{2} + 3$

$f(-\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} + 3 > 0$

$f(\sqrt{2}) = -4\sqrt{2} + 3 < 0$ (なぜなら$4\sqrt{2} = \sqrt{32} > \sqrt{9} = 3$だから)

$f(x)$は$x = -\sqrt{2}$で極大値 $4\sqrt{2} + 3$ を持ち、

$x = \sqrt{2}$で極小値 $-4\sqrt{2} + 3$ を持ちます。

$f(x)$ は、$x \to -\infty$ で $-\infty$ に発散し、$x \to \infty$ で $\infty$ に発散します。

$f(-\sqrt{2}) > 0$ かつ $f(\sqrt{2}) < 0$ であるため、$f(x) = 0$ は3つの実数解を持ちます。

3. 最終的な答え

3個