関数 $y = \frac{x-1}{x^3 + 1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x-1}{x^3 + 1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数は商の形をしているので、商の微分公式を使います。

商の微分公式は次のとおりです。

$\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで、$u = x - 1$、$v = x^3 + 1$ とおきます。

すると、$u' = 1$、$v' = 3x^2$ となります。

これらの値を商の微分公式に代入します。

$y' = \frac{(1)(x^3 + 1) - (x - 1)(3x^2)}{(x^3 + 1)^2}$

次に、分子を展開して整理します。

$y' = \frac{x^3 + 1 - (3x^3 - 3x^2)}{(x^3 + 1)^2}$

$y' = \frac{x^3 + 1 - 3x^3 + 3x^2}{(x^3 + 1)^2}$

$y' = \frac{-2x^3 + 3x^2 + 1}{(x^3 + 1)^2}$

$x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)$であることを用いると、$x=1$は分子の根ではないことがわかり、約分はできません。

3. 最終的な答え

$y' = \frac{-2x^3 + 3x^2 + 1}{(x^3 + 1)^2}$