3次方程式 $x^3 - 6x + 4 = 0$ の実数解の個数を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 6x + 4 = 0$ の実数解の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = x^3 - 6x + 4$ を考える。この関数の導関数を求める。

$f'(x) = 3x^2 - 6$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$3x^2 - 6 = 0$

$3x^2 = 6$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

次に、増減表を作る。

$x = -\sqrt{2}$ のとき、

$f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^3 - 6(-\sqrt{2}) + 4 = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 4 = 4\sqrt{2} + 4 > 0$

$x = \sqrt{2}$ のとき、

$f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 - 6(\sqrt{2}) + 4 = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 4 = -4\sqrt{2} + 4 < 0$

なぜなら、$4 < 4\sqrt{2} = \sqrt{32}$ であるから。

また、$f(x) = 0$ となる $x$ を探す。

$x = 2$ を代入すると、

$f(2) = 2^3 - 6(2) + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$

したがって、$x = 2$ は解の一つである。

$f(x)$ を $x - 2$ で割る。

$x^3 - 6x + 4 = (x - 2)(x^2 + 2x - 2)$

$x^2 + 2x - 2 = 0$ の解を求める。

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$

したがって、3つの実数解は、$2, -1 + \sqrt{3}, -1 - \sqrt{3}$ である。

3. 最終的な答え

3個