関数 $y = \frac{1}{x^3 + 3x^2 + 1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x^3 + 3x^2 + 1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この問題を解くためには、商の微分公式または合成関数の微分公式を使用します。ここでは合成関数の微分公式を使用します。

まず、$y$ を $y = (x^3 + 3x^2 + 1)^{-1}$ と書き換えます。

次に、合成関数の微分公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を適用します。ここで、$u = x^3 + 3x^2 + 1$ とおくと、$y = u^{-1}$となります。

$\frac{dy}{du} = -1 \cdot u^{-2} = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$

$\frac{du}{dx} = 3x^2 + 6x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{u^2} \cdot (3x^2 + 6x) = -\frac{3x^2 + 6x}{(x^3 + 3x^2 + 1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2 + 6x}{(x^3 + 3x^2 + 1)^2}$