与えられた5つの関数について、マクローリン展開（テイラー展開の中心を0とする展開）を求めます。具体的には、以下の関数についてマクローリン展開を求めます。 (1) $f(x) = \log \frac{1+x}{1-x}$ (2) $f(x) = \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ (3) $f(x) = \frac{1}{(1-x)^2}$ (4) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ (5) $f(x) = \sin x \cos x$

1. 問題の内容

与えられた5つの関数について、マクローリン展開（テイラー展開の中心を0とする展開）を求めます。具体的には、以下の関数についてマクローリン展開を求めます。

(1) $f(x) = \log \frac{1+x}{1-x}$

(2) $f(x) = \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

(3) $f(x) = \frac{1}{(1-x)^2}$

(4) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

(5) $f(x) = \sin x \cos x$

2. 解き方の手順

各関数に対して、以下の手順でマクローリン展開を求めます。

(1) $f(x) = \log \frac{1+x}{1-x} = \log(1+x) - \log(1-x)$

$\log(1+x)$ のマクローリン展開は $x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$ です。

$\log(1-x)$ のマクローリン展開は $-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \dots$ です。

したがって、$f(x) = (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots) - (-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \dots) = 2x + \frac{2x^3}{3} + \frac{2x^5}{5} + \dots = 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$

(2) $f(x) = \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

$e^x$ のマクローリン展開は $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$ です。

$e^{-x}$ のマクローリン展開は $1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \dots$ です。

したがって、$f(x) = \frac{1}{2} [(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots) - (1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \dots)] = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

(3) $f(x) = \frac{1}{(1-x)^2}$

$\frac{1}{1-x}$ のマクローリン展開は $1 + x + x^2 + x^3 + \dots$ です。

$\frac{1}{(1-x)^2}$ は $\frac{1}{1-x}$ の微分なので、$f(x) = \frac{d}{dx} (1+x+x^2+x^3+...) = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n$

(4) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = (1+x^2)^{-1/2}$

二項定理を用いると、

$f(x) = 1 + (-\frac{1}{2})x^2 + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})}{2!}x^4 + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})(-\frac{5}{2})}{3!}x^6 + \dots = 1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{8}x^4 - \frac{5}{16}x^6 + \dots$

(5) $f(x) = \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$

$\sin x$ のマクローリン展開は $x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$ です。

したがって、$\sin 2x = 2x - \frac{(2x)^3}{3!} + \frac{(2x)^5}{5!} - \dots = 2x - \frac{8x^3}{6} + \frac{32x^5}{120} - \dots$

$f(x) = \frac{1}{2} (2x - \frac{8x^3}{6} + \frac{32x^5}{120} - \dots) = x - \frac{4x^3}{6} + \frac{16x^5}{120} - \dots = x - \frac{2x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} - \dots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(2x)^{2n+1}}{(2n+1)!} \frac{1}{2} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{2^{2n} x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

3. 最終的な答え

(1) $\log \frac{1+x}{1-x} = 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$

(2) $\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

(3) $\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n$

(4) $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = 1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{8}x^4 - \frac{5}{16}x^6 + \dots$

(5) $\sin x \cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{2^{2n} x^{2n+1}}{(2n+1)!}$