$\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{2x}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{2x}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

$t = \frac{1}{2x}$ と置換します。$x \to \infty$ のとき、$t \to 0$ となります。

また、$x = \frac{1}{2t}$ となります。

与えられた極限は、次のように書き換えられます。

$$\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{2x} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{2t} \sin t = \frac{1}{2} \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t}$$

ここで、$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ であることを利用します。

したがって、

$$\frac{1}{2} \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$