関数 $y = \log \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ を微分せよ。ただし、$-1 < x < 1$。

1. 問題の内容

関数 $y = \log \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ を微分せよ。ただし、$-1 < x < 1$。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して関数を簡略化します。

$\sqrt{a} = a^{1/2}$ と $\log a^b = b \log a$ を用いると、

$y = \log \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \log \left( \frac{1-x}{1+x} \right)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1-x}{1+x} \right)$

次に、$\log \frac{a}{b} = \log a - \log b$ を用いると、

$y = \frac{1}{2} \left( \log (1-x) - \log (1+x) \right)$

ここで、$y$ を $x$ で微分します。$\frac{d}{dx} \log(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}$ を用います。

$\frac{d}{dx} \log(1-x) = \frac{-1}{1-x}$

$\frac{d}{dx} \log(1+x) = \frac{1}{1+x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{-1}{1-x} - \frac{1}{1+x} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{-(1+x) - (1-x)}{(1-x)(1+x)} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{-1-x-1+x}{1-x^2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{-2}{1-x^2} \right) = \frac{-1}{1-x^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{1-x^2}$