定積分 $\int_{1}^{2} \frac{e^x}{e^x - 1} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} \frac{e^x}{e^x - 1} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$t = e^x - 1$ と置換します。すると、$dt = e^x dx$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。

$x = 1$ のとき、$t = e^1 - 1 = e - 1$

$x = 2$ のとき、$t = e^2 - 1$

よって、積分は

$$\int_{e-1}^{e^2-1} \frac{1}{t} dt$$

となります。

この積分は容易に計算できます。

$$\int_{e-1}^{e^2-1} \frac{1}{t} dt = [\ln |t|]_{e-1}^{e^2-1} = \ln(e^2 - 1) - \ln(e - 1)$$

対数の性質を使って、

$$\ln(e^2 - 1) - \ln(e - 1) = \ln\left(\frac{e^2 - 1}{e - 1}\right) = \ln\left(\frac{(e-1)(e+1)}{e-1}\right) = \ln(e+1)$$

3. 最終的な答え

$\ln(e+1)$