曲線 $y = -x^3 + x^2 + 1$ 上の点 $(1, 1)$ における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = -x^3 + x^2 + 1$ 上の点 $(1, 1)$ における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた曲線の方程式 $y = -x^3 + x^2 + 1$ を $x$ で微分して、導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

$\frac{dy}{dx} = -3x^2 + 2x$

(2) 次に、点 $(1, 1)$ における接線の傾き $m$ を求めます。これは、導関数 $\frac{dy}{dx}$ に $x = 1$ を代入することで得られます。

$m = -3(1)^2 + 2(1) = -3 + 2 = -1$

(3) 最後に、点 $(1, 1)$ を通り、傾きが $m = -1$ である直線の方程式を求めます。これは、点傾斜式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ を用いて求めることができます。ここで、$(x_1, y_1) = (1, 1)$ です。

$y - 1 = -1(x - 1)$

$y - 1 = -x + 1$

$y = -x + 2$

3. 最終的な答え

$y = -x + 2$