曲線 $y = x^3 - x$ 上の点 $(1, 0)$ における接線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - x$ 上の点 $(1, 0)$ における接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた曲線 $y = x^3 - x$ を微分して、導関数 $y'$ を求めます。これは曲線の傾きを表します。

$$y' = \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 1$$

次に、点 $(1, 0)$ における接線の傾きを求めます。$x = 1$ を導関数 $y'$ に代入します。

$$y'(1) = 3(1)^2 - 1 = 3 - 1 = 2$$

したがって、点 $(1, 0)$ における接線の傾きは $2$ です。

次に、点 $(1, 0)$ を通り、傾きが $2$ の直線の方程式を求めます。点傾斜式と呼ばれる式を使用します。点 $(x_1, y_1)$ を通り、傾きが $m$ の直線の方程式は次のようになります。

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

ここで、$(x_1, y_1) = (1, 0)$ であり、$m = 2$ なので、

$$y - 0 = 2(x - 1)$$

$$y = 2x - 2$$

3. 最終的な答え

$y = 2x - 2$