不定積分 $\int \frac{\sin x}{3-3\cos x - 2\sin^2 x} dx$ を求め、解答欄を埋める問題です。答えの形式は $\log\left|\frac{\text{ア}\cos x - \text{イ}}{\cos x - \text{ウ}}\right| + C$ となります。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{\sin x}{3-3\cos x - 2\sin^2 x} dx$ を求め、解答欄を埋める問題です。答えの形式は $\log\left|\frac{\text{ア}\cos x - \text{イ}}{\cos x - \text{ウ}}\right| + C$ となります。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数の分母を $\cos x$ で表します。

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ であるから、

$3 - 3\cos x - 2\sin^2 x = 3 - 3\cos x - 2(1 - \cos^2 x) = 3 - 3\cos x - 2 + 2\cos^2 x = 2\cos^2 x - 3\cos x + 1$

よって、

$\int \frac{\sin x}{3-3\cos x - 2\sin^2 x} dx = \int \frac{\sin x}{2\cos^2 x - 3\cos x + 1} dx$

ここで、$t = \cos x$ と置換すると、$dt = -\sin x dx$ となるため、

$\int \frac{\sin x}{2\cos^2 x - 3\cos x + 1} dx = \int \frac{-1}{2t^2 - 3t + 1} dt = - \int \frac{1}{2t^2 - 3t + 1} dt$

分母を因数分解すると、

$2t^2 - 3t + 1 = (2t - 1)(t - 1)$

したがって、

$- \int \frac{1}{2t^2 - 3t + 1} dt = - \int \frac{1}{(2t - 1)(t - 1)} dt$

ここで、部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(2t - 1)(t - 1)} = \frac{A}{2t - 1} + \frac{B}{t - 1}$

$1 = A(t - 1) + B(2t - 1)$

$t = 1$ のとき、$1 = B(2 - 1) \Rightarrow B = 1$

$t = \frac{1}{2}$ のとき、$1 = A(\frac{1}{2} - 1) \Rightarrow 1 = -\frac{1}{2}A \Rightarrow A = -2$

よって、

$\frac{1}{(2t - 1)(t - 1)} = \frac{-2}{2t - 1} + \frac{1}{t - 1}$

したがって、

$- \int \frac{1}{(2t - 1)(t - 1)} dt = - \int (\frac{-2}{2t - 1} + \frac{1}{t - 1}) dt = 2 \int \frac{1}{2t - 1} dt - \int \frac{1}{t - 1} dt$

$= 2 \cdot \frac{1}{2} \log |2t - 1| - \log |t - 1| + C = \log |2t - 1| - \log |t - 1| + C = \log \left| \frac{2t - 1}{t - 1} \right| + C$

$t = \cos x$ を代入して、

$\log \left| \frac{2\cos x - 1}{\cos x - 1} \right| + C$

ア = 2, イ = 1, ウ = 1

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 1

ウ: 1