与えられた4つの関数をそれぞれ微分する。

1. 問題の内容

与えられた4つの関数をそれぞれ微分する。

2. 解き方の手順

問1: $y = (2x+1)(x^2-1)$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使うか、展開してから微分する。

展開すると、

$y = 2x^3 - 2x + x^2 - 1 = 2x^3 + x^2 - 2x - 1$

微分すると、

$y' = 6x^2 + 2x - 2$

問2: $y = \frac{x+1}{3x-2}$

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使う。

$u = x+1, v = 3x-2$

$u' = 1, v' = 3$

$y' = \frac{1(3x-2) - (x+1)3}{(3x-2)^2} = \frac{3x-2-3x-3}{(3x-2)^2} = \frac{-5}{(3x-2)^2}$

問3: $y = (x^2 + 3x)^4$

合成関数の微分 $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$ を使う。

$f(u) = u^4, g(x) = x^2 + 3x$

$f'(u) = 4u^3, g'(x) = 2x+3$

$y' = 4(x^2+3x)^3 (2x+3)$

問4: $y = \sqrt{3x+2}$

合成関数の微分を使う。

$y = (3x+2)^{1/2}$

$y' = \frac{1}{2}(3x+2)^{-1/2} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x+2}}$

3. 最終的な答え

問1: $y' = 6x^2 + 2x - 2$

問2: $y' = \frac{-5}{(3x-2)^2}$

問3: $y' = 4(x^2+3x)^3 (2x+3)$

問4: $y' = \frac{3}{2\sqrt{3x+2}}$