関数 $y = \frac{2x^2 + x + 1}{x+1}$ のグラフの概形を描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2x^2 + x + 1}{x+1}$ のグラフの概形を描く問題です。

2. 解き方の手順

まず、割り算を実行して関数を書き換えます。

$2x^2+x+1$ を $x+1$ で割ると、商が $2x-1$、余りが $2$ になります。

したがって、

$$y = 2x - 1 + \frac{2}{x+1}$$

となります。

この関数は、直線 $y = 2x - 1$ を漸近線に持つ双曲線のような形をしていることがわかります。

次に、いくつかの重要な点を調べます。

* **漸近線:**

* 垂直漸近線は $x = -1$ です。

* 斜め漸近線は $y = 2x - 1$ です。

* **$x$切片:**

$y=0$ となる $x$ を求めます。

$$\frac{2x^2+x+1}{x+1} = 0$$

$2x^2 + x + 1 = 0$ となります。判別式 $D = 1^2 - 4(2)(1) = 1 - 8 = -7 < 0$ より、実数解を持ちません。したがって、$x$ 切片はありません。

* **$y$切片:**

$x=0$ のときの $y$ の値を求めます。

$y = \frac{2(0)^2 + 0 + 1}{0+1} = \frac{1}{1} = 1$

したがって、$y$ 切片は $(0, 1)$ です。

* **増減:**

$y' = 2 - \frac{2}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1)^2 - 2}{(x+1)^2} = \frac{2(x^2 + 2x + 1) - 2}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 4x}{(x+1)^2} = \frac{2x(x+2)}{(x+1)^2}$

$y'=0$ となるのは、$x=0$ または $x=-2$ のときです。$x=-1$ では定義されません。

$x < -2$ のとき、$y' > 0$

$-2 < x < -1$ のとき、$y' < 0$

$-1 < x < 0$ のとき、$y' < 0$

$x > 0$ のとき、$y' > 0$

したがって、$x=-2$ で極大値、 $x=0$ で極小値を持ちます。

$x = -2$ のとき、$y = 2(-2) - 1 + \frac{2}{-2+1} = -4 - 1 - 2 = -7$

$x = 0$ のとき、$y = 2(0) - 1 + \frac{2}{0+1} = -1 + 2 = 1$

まとめると、

* $x \to -1^-$ のとき、$y \to -\infty$

* $x \to -1^+$ のとき、$y \to \infty$

* $x \to -\infty$ のとき、$y \to -\infty$ に漸近する

* $x \to \infty$ のとき、$y \to \infty$ に漸近する

これらの情報からグラフの概形を描きます。

3. 最終的な答え

グラフの概形:

* 垂直漸近線 $x = -1$

* 斜め漸近線 $y = 2x - 1$

* y切片 $(0, 1)$

* 極大値 $(-2, -7)$

* 極小値 $(0, 1)$