$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$のとき、$\sin \theta = \frac{2\sqrt{6}}{5}$である。このとき、$\sin \frac{\theta}{2}$, $\cos \frac{\theta}{2}$, $\tan \frac{\theta}{2}$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$のとき、$\sin \theta = \frac{2\sqrt{6}}{5}$である。このとき、$\sin \frac{\theta}{2}$, $\cos \frac{\theta}{2}$, $\tan \frac{\theta}{2}$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ より、$\frac{\pi}{4} < \frac{\theta}{2} < \frac{\pi}{2}$である。したがって、$\sin \frac{\theta}{2} > 0$、$\cos \frac{\theta}{2} > 0$、$\tan \frac{\theta}{2} > 0$となる。

まず、$\cos \theta$の値を求める。$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$より、

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \left( \frac{2\sqrt{6}}{5} \right)^2 = 1 - \frac{4 \cdot 6}{25} = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25}$.

$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$より、$\cos \theta < 0$なので、$\cos \theta = -\frac{1}{5}$.

次に、$\sin \frac{\theta}{2}$の値を求める。

$\sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{2} = \frac{1 - (-\frac{1}{5})}{2} = \frac{1 + \frac{1}{5}}{2} = \frac{\frac{6}{5}}{2} = \frac{3}{5}$.

$\sin \frac{\theta}{2} > 0$より、$\sin \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$.

次に、$\cos \frac{\theta}{2}$の値を求める。

$\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos \theta}{2} = \frac{1 + (-\frac{1}{5})}{2} = \frac{1 - \frac{1}{5}}{2} = \frac{\frac{4}{5}}{2} = \frac{2}{5}$.

$\cos \frac{\theta}{2} > 0$より、$\cos \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$.

最後に、$\tan \frac{\theta}{2}$の値を求める。

$\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{15}}{5}}{\frac{\sqrt{10}}{5}} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{15}{10}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

3. 最終的な答え

$\sin \frac{\theta}{2} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

$\cos \frac{\theta}{2} = \frac{\sqrt{10}}{5}$

$\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$