関数 $f(x) = \log(x+1)$ が与えられています。 (1) $f(x)$ の不定積分 $\int f(x) dx$ を求めます。 (2) 自然数 $n$ に対し、曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(n, f(n))$ における接線 $l_n$ を求めます。曲線 $y=f(x)$ と接線 $l_n$ と直線 $x=2n$ で囲まれた図形の面積 $S_n$ を求めます。 (3) 極限値 $\lim_{n\to\infty} \frac{S_n}{n}$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log(x+1)$ が与えられています。

(1) $f(x)$ の不定積分 $\int f(x) dx$ を求めます。

(2) 自然数 $n$ に対し、曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(n, f(n))$ における接線 $l_n$ を求めます。曲線 $y=f(x)$ と接線 $l_n$ と直線 $x=2n$ で囲まれた図形の面積 $S_n$ を求めます。

(3) 極限値 $\lim_{n\to\infty} \frac{S_n}{n}$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 不定積分 $\int \log(x+1) dx$ を求めます。部分積分を用います。$u = \log(x+1)$、 $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x+1} dx$、$v = x$ です。

よって、

$\int \log(x+1) dx = x\log(x+1) - \int \frac{x}{x+1} dx$

$\int \frac{x}{x+1} dx = \int \frac{x+1-1}{x+1} dx = \int (1 - \frac{1}{x+1}) dx = x - \log(x+1) + C$

したがって、

$\int \log(x+1) dx = x\log(x+1) - (x - \log(x+1)) + C = (x+1)\log(x+1) - x + C$

(2) 曲線 $y = f(x) = \log(x+1)$ 上の点 $(n, f(n))$ における接線 $l_n$ を求めます。

$f'(x) = \frac{1}{x+1}$ なので、$f'(n) = \frac{1}{n+1}$ です。

接線 $l_n$ の方程式は、

$y - \log(n+1) = \frac{1}{n+1}(x-n)$

$y = \frac{1}{n+1}x - \frac{n}{n+1} + \log(n+1)$

面積 $S_n$ を求めます。

$S_n = \int_n^{2n} (\log(x+1) - (\frac{1}{n+1}x - \frac{n}{n+1} + \log(n+1))) dx$

$S_n = \int_n^{2n} \log(x+1) dx - \int_n^{2n} (\frac{1}{n+1}x - \frac{n}{n+1} + \log(n+1)) dx$

$\int_n^{2n} \log(x+1) dx = [(x+1)\log(x+1) - x]_n^{2n} = (2n+1)\log(2n+1) - 2n - (n+1)\log(n+1) + n = (2n+1)\log(2n+1) - (n+1)\log(n+1) - n$

$\int_n^{2n} (\frac{1}{n+1}x - \frac{n}{n+1} + \log(n+1)) dx = [\frac{1}{2(n+1)}x^2 - \frac{n}{n+1}x + x\log(n+1)]_n^{2n}$

$= (\frac{4n^2}{2(n+1)} - \frac{2n^2}{n+1} + 2n\log(n+1)) - (\frac{n^2}{2(n+1)} - \frac{n^2}{n+1} + n\log(n+1))$

$= \frac{3n^2}{2(n+1)} - \frac{n^2}{n+1} + n\log(n+1) = \frac{n^2}{2(n+1)} + n\log(n+1)$

$S_n = (2n+1)\log(2n+1) - (n+1)\log(n+1) - n - (\frac{n^2}{2(n+1)} + n\log(n+1))$

$S_n = (2n+1)\log(2n+1) - (2n+1)\log(n+1) - n - \frac{n^2}{2(n+1)}$

$S_n = (2n+1)\log(\frac{2n+1}{n+1}) - n - \frac{n^2}{2(n+1)}$

(3) $\lim_{n\to\infty} \frac{S_n}{n}$ を求めます。

$\lim_{n\to\infty} \frac{S_n}{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(2n+1)\log(\frac{2n+1}{n+1}) - n - \frac{n^2}{2(n+1)}}{n}$

$\lim_{n\to\infty} \frac{(2n+1)\log(\frac{2n+1}{n+1})}{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{n} \log(\frac{2n+1}{n+1}) = 2 \log(2) = 2\log 2$

$\lim_{n\to\infty} \frac{n}{n} = 1$

$\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2n(n+1)} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2n^2 + 2n} = \frac{1}{2}$

$\lim_{n\to\infty} \frac{S_n}{n} = 2\log 2 - 1 - \frac{1}{2} = 2\log 2 - \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\int f(x)dx = (x+1)\log(x+1) - x + C$

(2) $S_n = (2n+1)\log(\frac{2n+1}{n+1}) - n - \frac{n^2}{2(n+1)}$

(3) $\lim_{n\to\infty} \frac{S_n}{n} = 2\log 2 - \frac{3}{2}$