与えられた2つの関数 $f(x, y)$ について、点 $(0, 0)$ で全微分可能かどうかを調べます。 (1) $ f(x, y) = \begin{cases} \frac{x|y|}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases} $ (2) $ f(x, y) = \begin{cases} xy \arcsin \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases} $

1. 問題の内容

与えられた2つの関数 $f(x, y)$ について、点 $(0, 0)$ で全微分可能かどうかを調べます。

(1)

$$

f(x, y) =

\begin{cases}

\frac{x|y|}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\

0 & (x, y) = (0, 0)

\end{cases}

$$

(2)

$$

f(x, y) =

\begin{cases}

xy \arcsin \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} & (x, y) \neq (0, 0) \\

0 & (x, y) = (0, 0)

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

全微分可能性を調べるには、以下の手順を踏みます。

(1) 偏微分係数 $f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を計算します。

(2) $f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を用いて、$f(x, y)$ が $(0, 0)$ で全微分可能であるための条件を満たすかどうかを確認します。

つまり、以下の式が成立するかどうかを確認します。

$\lim_{(h, k) \to (0, 0)} \frac{f(0+h, 0+k) - f(0, 0) - f_x(0, 0)h - f_y(0, 0)k}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0$

(1)の関数について：

* $f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$

* $f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 0}{k} = 0$

ここで、全微分可能性の定義式に代入します。

$\lim_{(h, k) \to (0, 0)} \frac{\frac{h|k|}{\sqrt{h^2 + k^2}} - 0 - 0\cdot h - 0 \cdot k}{\sqrt{h^2 + k^2}} = \lim_{(h, k) \to (0, 0)} \frac{h|k|}{h^2 + k^2}$

$h = r \cos\theta$, $k = r \sin\theta$ とすると、

$\lim_{r \to 0} \frac{r \cos\theta |r \sin\theta|}{r^2} = \lim_{r \to 0} \frac{r^2 \cos\theta |\sin\theta|}{r^2} = \lim_{r \to 0} \cos\theta |\sin\theta| = \cos\theta |\sin\theta|$

この極限値は $\theta$ に依存するため、0 に収束しません。

したがって、$f(x, y)$ は $(0, 0)$ で全微分可能ではありません。

(2)の関数について：

* $f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$

* $f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 0}{k} = 0$

ここで、全微分可能性の定義式に代入します。

$\lim_{(h, k) \to (0, 0)} \frac{hk \arcsin \frac{h^2 - k^2}{h^2 + k^2} - 0 - 0\cdot h - 0 \cdot k}{\sqrt{h^2 + k^2}} = \lim_{(h, k) \to (0, 0)} \frac{hk \arcsin \frac{h^2 - k^2}{h^2 + k^2}}{\sqrt{h^2 + k^2}}$

$h = r \cos\theta$, $k = r \sin\theta$ とすると、

$\lim_{r \to 0} \frac{r^2 \cos\theta \sin\theta \arcsin (\frac{r^2 \cos^2\theta - r^2 \sin^2\theta}{r^2 \cos^2\theta + r^2 \sin^2\theta})}{r} = \lim_{r \to 0} r \cos\theta \sin\theta \arcsin(\cos 2\theta)$

$\arcsin(\cos 2\theta)$ は $\theta$ に依存する定数であり、$\lim_{r \to 0} r = 0$ であるので、

$\lim_{r \to 0} r \cos\theta \sin\theta \arcsin(\cos 2\theta) = 0$

したがって、$f(x, y)$ は $(0, 0)$ で全微分可能です。

3. 最終的な答え

(1) 全微分可能ではない。

(2) 全微分可能である。