与えられた複数の不定積分を計算すること。

はい、承知いたしました。画像にある積分問題について、一つずつ解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた複数の不定積分を計算すること。

2. 解き方の手順と答え

(1) $\int \frac{3x^2 + 5}{x + 1} dx$

まず、分子を分母で割ります。

$3x^2 + 5 = (x+1)(3x-3) + 8$

したがって、積分は以下のようになります。

$\int \frac{(x+1)(3x-3) + 8}{x+1} dx = \int (3x - 3 + \frac{8}{x+1}) dx$

$= \frac{3}{2}x^2 - 3x + 8\ln|x+1| + C$

(2) $\int \frac{x^2 + 3}{x^2 + 4} dx$

被積分関数を以下のように変形します。

$\frac{x^2 + 3}{x^2 + 4} = \frac{x^2 + 4 - 1}{x^2 + 4} = 1 - \frac{1}{x^2 + 4}$

したがって、積分は以下のようになります。

$\int (1 - \frac{1}{x^2 + 4}) dx = \int 1 dx - \int \frac{1}{x^2 + 2^2} dx$

$= x - \frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{2}) + C$

(3) $\int \frac{2x^3 + 5x}{x^2 + 2} dx$

分子を分母で割ります。

$2x^3 + 5x = (x^2+2)(2x) + x$

したがって、積分は以下のようになります。

$\int \frac{(x^2+2)(2x) + x}{x^2 + 2} dx = \int (2x + \frac{x}{x^2 + 2}) dx$

$= x^2 + \frac{1}{2} \ln(x^2 + 2) + C$

(4) $\int \frac{4}{x^2 - 4} dx$

部分分数分解を行います。

$\frac{4}{x^2 - 4} = \frac{4}{(x-2)(x+2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}$

$4 = A(x+2) + B(x-2)$

$x = 2$ のとき、$4 = 4A \Rightarrow A = 1$

$x = -2$ のとき、$4 = -4B \Rightarrow B = -1$

したがって、積分は以下のようになります。

$\int (\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2}) dx = \ln|x-2| - \ln|x+2| + C = \ln|\frac{x-2}{x+2}| + C$

(5) $\int \frac{1}{x^2 - 16} dx$

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{x^2 - 16} = \frac{1}{(x-4)(x+4)} = \frac{A}{x-4} + \frac{B}{x+4}$

$1 = A(x+4) + B(x-4)$

$x = 4$ のとき、$1 = 8A \Rightarrow A = \frac{1}{8}$

$x = -4$ のとき、$1 = -8B \Rightarrow B = -\frac{1}{8}$

したがって、積分は以下のようになります。

$\int (\frac{1/8}{x-4} - \frac{1/8}{x+4}) dx = \frac{1}{8} \ln|x-4| - \frac{1}{8} \ln|x+4| + C = \frac{1}{8} \ln|\frac{x-4}{x+4}| + C$

(6) $\int \frac{1}{(x-2)(x-3)} dx$

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}$

$1 = A(x-3) + B(x-2)$

$x = 2$ のとき、$1 = -A \Rightarrow A = -1$

$x = 3$ のとき、$1 = B \Rightarrow B = 1$

したがって、積分は以下のようになります。

$\int (-\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-3}) dx = -\ln|x-2| + \ln|x-3| + C = \ln|\frac{x-3}{x-2}| + C$

(7) $\int \frac{2x+1}{(x-1)(x+3)} dx$

部分分数分解を行います。

$\frac{2x+1}{(x-1)(x+3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+3}$

$2x+1 = A(x+3) + B(x-1)$

$x = 1$ のとき、$3 = 4A \Rightarrow A = \frac{3}{4}$

$x = -3$ のとき、$-5 = -4B \Rightarrow B = \frac{5}{4}$

したがって、積分は以下のようになります。

$\int (\frac{3/4}{x-1} + \frac{5/4}{x+3}) dx = \frac{3}{4} \ln|x-1| + \frac{5}{4} \ln|x+3| + C$

(8) $\int \frac{x^2}{x^2 - 3x - 10} dx$

まず、分子を分母で割ります。

$x^2 = (x^2 - 3x - 10) + (3x + 10)$

したがって、積分は以下のようになります。

$\int \frac{x^2 - 3x - 10 + 3x + 10}{x^2 - 3x - 10} dx = \int (1 + \frac{3x+10}{x^2 - 3x - 10}) dx = \int (1 + \frac{3x+10}{(x-5)(x+2)}) dx$

部分分数分解を行います。

$\frac{3x+10}{(x-5)(x+2)} = \frac{A}{x-5} + \frac{B}{x+2}$

$3x+10 = A(x+2) + B(x-5)$

$x = 5$ のとき、$25 = 7A \Rightarrow A = \frac{25}{7}$

$x = -2$ のとき、$4 = -7B \Rightarrow B = -\frac{4}{7}$

$\int (1 + \frac{25/7}{x-5} - \frac{4/7}{x+2}) dx = x + \frac{25}{7} \ln|x-5| - \frac{4}{7} \ln|x+2| + C$

(9) $\int \frac{x}{2+5x-3x^2} dx$

$\int \frac{x}{-3x^2+5x+2} dx = -\frac{1}{3}\int \frac{x}{x^2-\frac{5}{3}x-\frac{2}{3}} dx = -\frac{1}{3}\int \frac{x}{(x-\frac{5}{6})^2 - \frac{25}{36} - \frac{24}{36}} dx = -\frac{1}{3}\int \frac{x}{(x-\frac{5}{6})^2 - (\frac{7}{6})^2} dx$

部分分数分解を行います。

$\frac{x}{(2-x)(1+3x)} = \frac{A}{2-x} + \frac{B}{1+3x}$

$x = A(1+3x) + B(2-x)$

$x=2$ のとき、$2 = 7A$, $A=2/7$

$x=-1/3$ のとき、$-1/3 = B(2+1/3)$, $-1/3 = B(7/3)$, $B=-1/7$

$\int \frac{x}{(2-x)(1+3x)} dx = \frac{2}{7}\int \frac{1}{2-x} dx - \frac{1}{7}\int \frac{1}{1+3x} dx = -\frac{2}{7}\ln|2-x| - \frac{1}{21}\ln|1+3x|+C$

したがって、

$\int \frac{x}{2+5x-3x^2} dx = -\frac{2}{7}\ln|2-x| - \frac{1}{21}\ln|1+3x|+C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{2}x^2 - 3x + 8\ln|x+1| + C$

(2) $x - \frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{2}) + C$

(3) $x^2 + \frac{1}{2} \ln(x^2 + 2) + C$

(4) $\ln|\frac{x-2}{x+2}| + C$

(5) $\frac{1}{8} \ln|\frac{x-4}{x+4}| + C$

(6) $\ln|\frac{x-3}{x-2}| + C$

(7) $\frac{3}{4} \ln|x-1| + \frac{5}{4} \ln|x+3| + C$

(8) $x + \frac{25}{7} \ln|x-5| - \frac{4}{7} \ln|x+2| + C$

(9) $-\frac{2}{7}\ln|2-x| - \frac{1}{21}\ln|1+3x|+C$