媒介変数 $t$ を用いて表された関数 $x$ と $y$ が与えられたとき、$\frac{dy}{dx}$ を $t$ の関数として表す問題です。具体的には、 (a) $x = t + \frac{1}{t}$, $y = t - \frac{1}{t}$ (b) $x = \frac{2}{\cos t}$, $y = \tan t$ の2つのケースについて $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて表された関数 $x$ と $y$ が与えられたとき、$\frac{dy}{dx}$ を $t$ の関数として表す問題です。具体的には、

(a) $x = t + \frac{1}{t}$, $y = t - \frac{1}{t}$

(b) $x = \frac{2}{\cos t}$, $y = \tan t$

の2つのケースについて $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

2. 解き方の手順

$\frac{dy}{dx}$ を求めるには、以下の公式を利用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$

各ケースについて、まず $\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算し、その後 $\frac{dy}{dx}$ を計算します。

(a) $x = t + \frac{1}{t}$, $y = t - \frac{1}{t}$ の場合：

$\frac{dx}{dt} = 1 - \frac{1}{t^2}$

$\frac{dy}{dt} = 1 + \frac{1}{t^2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \frac{1}{t^2}}{1 - \frac{1}{t^2}} = \frac{t^2 + 1}{t^2 - 1}$

(b) $x = \frac{2}{\cos t}$, $y = \tan t$ の場合：

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (2 \sec t) = 2 \sec t \tan t = \frac{2 \sin t}{\cos^2 t}$

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (\tan t) = \sec^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{\cos^2 t}}{\frac{2 \sin t}{\cos^2 t}} = \frac{1}{2 \sin t}$

3. 最終的な答え

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{t^2 + 1}{t^2 - 1}$

(b) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 \sin t}$