次の関数の増減を調べ、極値を求めよ。 (1) $y = x^3 - 2x^2 - 4x - 1$ (2) $y = 2x^4 - 4x^2 + 5$ (3) $y = 2\sin x - x \quad (0 \le x \le 2\pi)$ (4) $y = \sqrt{x(1-x)}$ (5) $y = x^3 e^x$ (6) $y = x^2 - \log x$

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いて、指定された形式で回答します。

1. 問題の内容

次の関数の増減を調べ、極値を求めよ。

(1) $y = x^3 - 2x^2 - 4x - 1$

(2) $y = 2x^4 - 4x^2 + 5$

(3) $y = 2\sin x - x \quad (0 \le x \le 2\pi)$

(4) $y = \sqrt{x(1-x)}$

(5) $y = x^3 e^x$

(6) $y = x^2 - \log x$

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で増減と極値を求めます。

1. 微分を計算し、$y'$を求めます。

2. $y' = 0$となる$x$を求めます。これは極値の候補となる点です。

3. $y'$の符号を調べ、関数の増減を判断します。

4. 増減表を作成します。

5. 極大値、極小値を求めます。

(1) $y = x^3 - 2x^2 - 4x - 1$

1. 微分：$y' = 3x^2 - 4x - 4$

2. $y' = 0$となる$x$：$3x^2 - 4x - 4 = 0 \Rightarrow (3x + 2)(x - 2) = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}, 2$

3. 増減表：

| x | ... | -2/3 | ... | 2 | ... |

|--------|--------|--------|--------|--------|--------|

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

4. 極値：

- $x = -\frac{2}{3}$のとき、$y = (-\frac{2}{3})^3 - 2(-\frac{2}{3})^2 - 4(-\frac{2}{3}) - 1 = -\frac{8}{27} - \frac{8}{9} + \frac{8}{3} - 1 = \frac{-8 - 24 + 72 - 27}{27} = \frac{13}{27}$ (極大値)

- $x = 2$のとき、$y = 2^3 - 2(2^2) - 4(2) - 1 = 8 - 8 - 8 - 1 = -9$ (極小値)

(2) $y = 2x^4 - 4x^2 + 5$

1. 微分：$y' = 8x^3 - 8x$

2. $y' = 0$となる$x$：$8x^3 - 8x = 0 \Rightarrow 8x(x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x = 0, 1, -1$

3. 増減表：

| x | ... | -1 | ... | 0 | ... | 1 | ... |

|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|

| y' | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| y | 減少 | 極小 | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

4. 極値：

- $x = -1$のとき、$y = 2(-1)^4 - 4(-1)^2 + 5 = 2 - 4 + 5 = 3$ (極小値)

- $x = 0$のとき、$y = 2(0)^4 - 4(0)^2 + 5 = 5$ (極大値)

- $x = 1$のとき、$y = 2(1)^4 - 4(1)^2 + 5 = 2 - 4 + 5 = 3$ (極小値)

(3) $y = 2\sin x - x \quad (0 \le x \le 2\pi)$

1. 微分：$y' = 2\cos x - 1$

2. $y' = 0$となる$x$：$2\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

3. 増減表：

| x | 0 | ... | π/3 | ... | 5π/3 | ... | 2π |

|--------|------|--------|-------|--------|-------|--------|------|

| y' | 1 | + | 0 | - | 0 | + | 1 |

| y | 0 | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 | -2π |

4. 極値：

- $x = \frac{\pi}{3}$のとき、$y = 2\sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{3} = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$ (極大値)

- $x = \frac{5\pi}{3}$のとき、$y = 2\sin(\frac{5\pi}{3}) - \frac{5\pi}{3} = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{5\pi}{3} = -\sqrt{3} - \frac{5\pi}{3}$ (極小値)

(4) $y = \sqrt{x(1-x)}$

1. 定義域：$x(1-x) \ge 0 \Rightarrow 0 \le x \le 1$

2. 微分：$y' = \frac{1 - 2x}{2\sqrt{x(1-x)}}$

3. $y' = 0$となる$x$：$1 - 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$

4. 増減表：

| x | 0 | ... | 1/2 | ... | 1 |

|--------|------|--------|-------|--------|------|

| y' | | + | 0 | - | |

| y | 0 | 増加 | 極大 | 減少 | 0 |

5. 極値：

- $x = \frac{1}{2}$のとき、$y = \sqrt{\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2})} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ (極大値)

(5) $y = x^3 e^x$

1. 微分：$y' = 3x^2 e^x + x^3 e^x = x^2 e^x (3 + x)$

2. $y' = 0$となる$x$：$x^2 e^x (3 + x) = 0 \Rightarrow x = 0, -3$

3. 増減表：

| x | ... | -3 | ... | 0 | ... |

|--------|--------|--------|--------|--------|--------|

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | 増加 | 極大 | 減少 | 増加 | 増加|

4. 極値：

- $x = -3$のとき、$y = (-3)^3 e^{-3} = -27e^{-3} = -\frac{27}{e^3}$ (極大値)

- $x = 0$のとき、$y = 0$。$x = 0$の前後の$y'$の符号が同じなので極値ではない。

(6) $y = x^2 - \log x$

1. 定義域：$x > 0$

2. 微分：$y' = 2x - \frac{1}{x}$

3. $y' = 0$となる$x$：$2x - \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow 2x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

定義域より、$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

4. 増減表：

| x | 0 | ... | 1/√2 | ... |

|--------|------|--------|-------|--------|

| y' | | - | 0 | + |

| y | | 減少 | 極小 | 増加 |

5. 極値：

- $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$のとき、$y = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 - \log(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{2} - \log(2^{-\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\log 2$ (極小値)

3. 最終的な答え

(1) 極大値: $x = -\frac{2}{3}$のとき $y = \frac{13}{27}$, 極小値: $x = 2$のとき $y = -9$

(2) 極小値: $x = -1, 1$のとき $y = 3$, 極大値: $x = 0$のとき $y = 5$

(3) 極大値: $x = \frac{\pi}{3}$のとき $y = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$, 極小値: $x = \frac{5\pi}{3}$のとき $y = -\sqrt{3} - \frac{5\pi}{3}$

(4) 極大値: $x = \frac{1}{2}$のとき $y = \frac{1}{2}$

(5) 極大値: $x = -3$のとき $y = -\frac{27}{e^3}$

(6) 極小値: $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$のとき $y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\log 2$