関数 $y = xe^{\cos 2x}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = xe^{\cos 2x}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、積の微分法則を適用します。

$y = uv$ のとき、$\frac{dy}{dx} = u'v + uv'$ です。

ここで、$u = x$、$v = e^{\cos 2x}$ とします。

$u = x$ より、$u' = \frac{du}{dx} = 1$

$v = e^{\cos 2x}$ より、$v'$ を求めるために合成関数の微分法則（chain rule）を適用します。

$v = e^w$、$w = \cos 2x$ とします。

$\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dw} \cdot \frac{dw}{dx}$

$\frac{dv}{dw} = \frac{d}{dw}(e^w) = e^w = e^{\cos 2x}$

$\frac{dw}{dx} = \frac{d}{dx}(\cos 2x)$ について、再度合成関数の微分法則を適用します。

$w = \cos z$、$z = 2x$ とします。

$\frac{dw}{dx} = \frac{dw}{dz} \cdot \frac{dz}{dx}$

$\frac{dw}{dz} = \frac{d}{dz}(\cos z) = -\sin z = -\sin 2x$

$\frac{dz}{dx} = \frac{d}{dx}(2x) = 2$

よって、$\frac{dw}{dx} = (-\sin 2x) \cdot 2 = -2\sin 2x$

したがって、$v' = \frac{dv}{dx} = e^{\cos 2x} \cdot (-2\sin 2x) = -2e^{\cos 2x}\sin 2x$

これで、$u'$ と $v'$ が求まりましたので、積の微分法則に代入します。

$\frac{dy}{dx} = u'v + uv' = (1)(e^{\cos 2x}) + (x)(-2e^{\cos 2x}\sin 2x) = e^{\cos 2x} - 2xe^{\cos 2x}\sin 2x$

$\frac{dy}{dx} = e^{\cos 2x} (1 - 2x\sin 2x)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = e^{\cos 2x}(1 - 2x\sin 2x)$