点P(0,0,2)と点Q(1,3,3)を結ぶ線分Cに沿った線積分 $\int_C (xy+z) ds$ を計算する問題です。ここで、$s$ は弧長を表します。

1. 問題の内容

点P(0,0,2)と点Q(1,3,3)を結ぶ線分Cに沿った線積分 $\int_C (xy+z) ds$ を計算する問題です。ここで、$s$ は弧長を表します。

2. 解き方の手順

まず、線分Cをパラメータ表示します。

$\mathbf{r}(t) = (1-t)\mathbf{P} + t\mathbf{Q} = (1-t)(0,0,2) + t(1,3,3) = (t, 3t, 2+t), \quad 0 \le t \le 1$

次に、$\mathbf{r}'(t)$ を計算します。

$\mathbf{r}'(t) = (1, 3, 1)$

そして、$|\mathbf{r}'(t)|$ を計算します。

$|\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{1+9+1} = \sqrt{11}$

したがって、$ds = |\mathbf{r}'(t)| dt = \sqrt{11} dt$ となります。

次に、$xy+z$ を $t$ で表します。

$x = t$, $y = 3t$, $z = 2+t$ なので、

$xy+z = t(3t) + (2+t) = 3t^2 + 2 + t$

線積分を計算します。

$\int_C (xy+z) ds = \int_0^1 (3t^2 + t + 2) \sqrt{11} dt = \sqrt{11} \int_0^1 (3t^2 + t + 2) dt$

$= \sqrt{11} [t^3 + \frac{1}{2}t^2 + 2t]_0^1 = \sqrt{11} (1 + \frac{1}{2} + 2) = \sqrt{11} (\frac{2+1+4}{2}) = \sqrt{11} (\frac{7}{2}) = \frac{7\sqrt{11}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{7\sqrt{11}}{2}$