関数 $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$ の増減、凹凸、および $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$ を調べて、増減表を作成し、曲線 $y = f(x)$ のグラフの概形を描け。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$ の増減、凹凸、および $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$ を調べて、増減表を作成し、曲線 $y = f(x)$ のグラフの概形を描け。

2. 解き方の手順

(1) 極限の計算

$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1+1/x^2} = \frac{0}{1+0} = 0$

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{x^2+1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1/x}{1+1/x^2} = \frac{0}{1+0} = 0$

(2) 一階微分 $f'(x)$ の計算

$f(x) = \frac{x}{x^2+1}$

$f'(x) = \frac{(x^2+1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$

(3) $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。

$f'(x) = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} = 0$

$1-x^2 = 0$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

(4) 二階微分 $f''(x)$ の計算

$f'(x) = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$

$f''(x) = \frac{-2x(x^2+1)^2 - (1-x^2)2(x^2+1)(2x)}{(x^2+1)^4} = \frac{-2x(x^2+1) - (1-x^2)(4x)}{(x^2+1)^3} = \frac{-2x^3-2x-4x+4x^3}{(x^2+1)^3} = \frac{2x^3-6x}{(x^2+1)^3} = \frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}$

(5) $f''(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。

$f''(x) = \frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3} = 0$

$2x(x^2-3) = 0$

$x = 0, \pm \sqrt{3}$

(6) 増減表を作成する。

| x | $-\infty$ | | $-\sqrt{3}$ | | -1 | | 0 | | 1 | | $\sqrt{3}$ | | $\infty$ |

|---------|-----------|--------|-------------|--------|-----|--------|----|--------|-----|--------|-------------|--------|----------|

| f'(x) | | - | | - | 0 | + | + | + | 0 | - | | - | |

| f''(x) | | - | 0 | + | + | + | 0 | - | - | - | 0 | + | |

| f(x) | 0 | $\searrow$ | $-\frac{\sqrt{3}}{4}$ | $\nearrow$ | -0.5| $\nearrow$ | 0 | $\nearrow$ | 0.5 | $\searrow$ | $\frac{\sqrt{3}}{4}$ | $\searrow$ | 0 |

(7) グラフの概形を描く。

極大値 $f(1) = \frac{1}{2}$

極小値 $f(-1) = -\frac{1}{2}$

変曲点 $(0, 0), (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4}), (-\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{4})$

漸近線 $y = 0$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0$

増減表は上記に示した通り。

グラフの概形は、極大値 $(1, 1/2)$、極小値 $(-1, -1/2)$、変曲点 $(0, 0), (\sqrt{3}, \sqrt{3}/4), (-\sqrt{3}, -\sqrt{3}/4)$、漸近線 $y=0$ を持つ。