(1) $\sqrt{1-x}$ の2次の近似式を用いて、$\sqrt{0.9}$ と $\sqrt{24}$ の近似値を求める。 (2) $\sqrt[3]{1+x}$ の2次の近似式を用いて、$\sqrt[3]{1.1}$ と $\sqrt[3]{30}$ の近似値を求める。

1. 問題の内容

(1) $\sqrt{1-x}$ の2次の近似式を用いて、$\sqrt{0.9}$ と $\sqrt{24}$ の近似値を求める。

(2) $\sqrt[3]{1+x}$ の2次の近似式を用いて、$\sqrt[3]{1.1}$ と $\sqrt[3]{30}$ の近似値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{1-x}$ の2次の近似式を求める。

$f(x) = \sqrt{1-x}$ とする。

$f(0) = 1$

$f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$ より $f'(0) = -\frac{1}{2}$

$f''(x) = -\frac{1}{4(1-x)^{3/2}}$ より $f''(0) = -\frac{1}{4}$

したがって、$\sqrt{1-x}$ の $x=0$ における2次の近似式は、

$\sqrt{1-x} \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 = 1 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2$

$\sqrt{0.9} = \sqrt{1-0.1}$ なので、$x=0.1$ を代入すると、

$\sqrt{0.9} \approx 1 - \frac{1}{2}(0.1) - \frac{1}{8}(0.1)^2 = 1 - 0.05 - 0.00125 = 0.94875$

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} = 2\sqrt{9-3} = 6\sqrt{1-\frac{1}{3}}$ なので、$x=\frac{1}{3}$ を代入すると、

$\sqrt{24} \approx 6(1 - \frac{1}{2}(\frac{1}{3}) - \frac{1}{8}(\frac{1}{3})^2) = 6(1 - \frac{1}{6} - \frac{1}{72}) = 6 - 1 - \frac{1}{12} = 5 - \frac{1}{12} = \frac{59}{12} \approx 4.91667$

(2) $\sqrt[3]{1+x}$ の2次の近似式を求める。

$f(x) = (1+x)^{\frac{1}{3}}$ とする。

$f(0) = 1$

$f'(x) = \frac{1}{3}(1+x)^{-\frac{2}{3}}$ より $f'(0) = \frac{1}{3}$

$f''(x) = -\frac{2}{9}(1+x)^{-\frac{5}{3}}$ より $f''(0) = -\frac{2}{9}$

したがって、$\sqrt[3]{1+x}$ の $x=0$ における2次の近似式は、

$\sqrt[3]{1+x} \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 = 1 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^2$

$\sqrt[3]{1.1} = \sqrt[3]{1+0.1}$ なので、$x=0.1$ を代入すると、

$\sqrt[3]{1.1} \approx 1 + \frac{1}{3}(0.1) - \frac{1}{9}(0.1)^2 = 1 + \frac{0.1}{3} - \frac{0.01}{9} = 1 + 0.03333 - 0.00111 = 1.03222$

$\sqrt[3]{30} = \sqrt[3]{27+3} = \sqrt[3]{27(1+\frac{1}{9})} = 3\sqrt[3]{1+\frac{1}{9}}$ なので、$x=\frac{1}{9}$ を代入すると、

$\sqrt[3]{30} \approx 3(1 + \frac{1}{3}(\frac{1}{9}) - \frac{1}{9}(\frac{1}{9})^2) = 3(1 + \frac{1}{27} - \frac{1}{729}) = 3(1 + 0.037037 - 0.00137) = 3(1.035667) \approx 3.10700$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{0.9} \approx 0.94875$、$\sqrt{24} \approx 4.91667$

(2) $\sqrt[3]{1.1} \approx 1.03222$、$\sqrt[3]{30} \approx 3.10700$