$3^{23} = 94143178827$ であり、$9 \times 10^{10} < 3^{23} < 10^{11}$ が成り立つことを利用して、$\log_{10} 3$ の値を小数第2位まで求める。

1. 問題の内容

$3^{23} = 94143178827$ であり、$9 \times 10^{10} < 3^{23} < 10^{11}$ が成り立つことを利用して、$\log_{10} 3$ の値を小数第2位まで求める。

2. 解き方の手順

与えられた不等式の各辺の常用対数をとります。

$\log_{10} (9 \times 10^{10}) < \log_{10} 3^{23} < \log_{10} 10^{11}$

対数の性質を利用して変形します。

$\log_{10} 9 + \log_{10} 10^{10} < 23 \log_{10} 3 < 11 \log_{10} 10$

$\log_{10} 9 + 10 < 23 \log_{10} 3 < 11$

$\log_{10} 9 = \log_{10} 3^2 = 2 \log_{10} 3$ なので、

$2 \log_{10} 3 + 10 < 23 \log_{10} 3 < 11$

各辺を23で割ると、

$\frac{2 \log_{10} 3 + 10}{23} < \log_{10} 3 < \frac{11}{23}$

$\frac{10}{23} < \log_{10} 3$を解くには、$9 \times 10^{10} < 3^{23}$から不等式を導きます。

$2 \log_{10} 3 + 10 < 23 \log_{10} 3$

$10 < 21 \log_{10} 3$

$\log_{10} 3 > \frac{10}{21} = 0.476...$

$\log_{10} 3 < \frac{11}{23} = 0.478...$

したがって、

$0.476 < \log_{10} 3 < 0.478$

$\log_{10}3 \approx 0.48$

3. 最終的な答え

0.48