与えられた3つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \tan x}{x^3}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos^2 x + x^2 - 1}{x^4}$ (3) は画像が不鮮明で、$e^x$が指数関数なのか、定数なのか分かりません。判別可能な情報があれば、解くことができます。ここでは(1)(2)についてのみ解答します。

1. 問題の内容

与えられた3つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \tan x}{x^3}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos^2 x + x^2 - 1}{x^4}$

(3) は画像が不鮮明で、$e^x$が指数関数なのか、定数なのか分かりません。判別可能な情報があれば、解くことができます。ここでは(1)(2)についてのみ解答します。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \tan x}{x^3}$

ロピタルの定理を適用します。

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ なので、$\tan x$の微分は $\frac{1}{\cos^2 x}$ になります。

1回目のロピタルの定理適用:

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{1}{\cos^2 x}}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos^2 x - 1}{3x^2 \cos^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin^2 x}{3x^2 \cos^2 x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{-\sin^2 x}{3x^2 \cos^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin^2 x}{3x^2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos^2 x} = -\frac{1}{3} \cdot 1 = -\frac{1}{3}$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \tan x}{x^3} = -\frac{1}{3}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos^2 x + x^2 - 1}{x^4}$

$\cos^2 x$ を半角の公式を使って変形します。

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 + \cos 2x}{2} + x^2 - 1}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos 2x + 2x^2 - 2}{2x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x + 2x^2 - 1}{2x^4}$

ここで、$\cos 2x$ をテイラー展開すると $\cos 2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \frac{(2x)^6}{6!} + ... = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - ...$

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - ... + 2x^2 - 1}{2x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{3}x^4}{2x^4} = \frac{1}{3}$

したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{\cos^2 x + x^2 - 1}{x^4} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{3}$

(2) $\frac{1}{3}$