## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

写真に写っている問題は、3つの問題に分かれています。

* **問題3**: 次の関数 $f(x)$ の $x = 0$ におけるテイラー展開（マクローリン展開）を求めよ。

1. $f(x) = \sqrt{1-x}$

2. $f(x) = \sqrt{1+x}$

3. $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$

* **問題4**: 関数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ のマクローリン展開を利用して、$\sin^{-1}x$ の近似式を導け。与えられた展開は$\sin^{-1}x \approx x + \frac{1}{2} \frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \frac{x^5}{5} + ...$

* **問題5**: 次の関数を3次の項までマクローリン展開せよ。

1. $f(x, y) = e^{x+y}$

2. $f(x, y) = \frac{1}{1-x-y}$

今回は、問題5の(2) $f(x, y) = \frac{1}{1-x-y}$ を3次の項までマクローリン展開する問題を解きます。

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2. 解き方の手順

多変数関数のマクローリン展開は以下のようになります。

$f(x,y) = f(0,0) + f_x(0,0)x + f_y(0,0)y + \frac{1}{2!} [f_{xx}(0,0)x^2 + 2f_{xy}(0,0)xy + f_{yy}(0,0)y^2] + \frac{1}{3!} [f_{xxx}(0,0)x^3 + 3f_{xxy}(0,0)x^2y + 3f_{xyy}(0,0)xy^2 + f_{yyy}(0,0)y^3] + ...$

ここで、$f_x$, $f_y$ はそれぞれ $x$ と $y$ による偏微分を表します。

まず、$f(x, y)$ の偏導関数を計算します。

$f(x, y) = \frac{1}{1-x-y} = (1-x-y)^{-1}$

$f(0,0) = 1$

1階偏導関数：

$f_x(x, y) = (1-x-y)^{-2}$

$f_y(x, y) = (1-x-y)^{-2}$

$f_x(0, 0) = 1$

$f_y(0, 0) = 1$

2階偏導関数：

$f_{xx}(x, y) = 2(1-x-y)^{-3}$

$f_{xy}(x, y) = 2(1-x-y)^{-3}$

$f_{yy}(x, y) = 2(1-x-y)^{-3}$

$f_{xx}(0, 0) = 2$

$f_{xy}(0, 0) = 2$

$f_{yy}(0, 0) = 2$

3階偏導関数：

$f_{xxx}(x, y) = 6(1-x-y)^{-4}$

$f_{xxy}(x, y) = 6(1-x-y)^{-4}$

$f_{xyy}(x, y) = 6(1-x-y)^{-4}$

$f_{yyy}(x, y) = 6(1-x-y)^{-4}$

$f_{xxx}(0, 0) = 6$

$f_{xxy}(0, 0) = 6$

$f_{xyy}(0, 0) = 6$

$f_{yyy}(0, 0) = 6$

これらの値をマクローリン展開の式に代入します。

$f(x,y) = 1 + x + y + \frac{1}{2!}(2x^2 + 4xy + 2y^2) + \frac{1}{3!}(6x^3 + 18x^2y + 18xy^2 + 6y^3) + ...$

$f(x,y) = 1 + x + y + x^2 + 2xy + y^2 + x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 + ...$

3次の項までのマクローリン展開は

$1 + x + y + x^2 + 2xy + y^2 + x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

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3. 最終的な答え

$f(x, y) = 1 + x + y + x^2 + 2xy + y^2 + x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 + O((x,y)^4)$