はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、10番の導関数を求める問題と、11番の不定積分を求める問題全てについて解答します。

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、10番の導関数を求める問題と、11番の不定積分を求める問題全てについて解答します。

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1. 問題の内容**

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0. 次の関数の導関数を求めよ。

(1) $f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x - 5$

(2) $f(x) = \sin 2x$

(3) $f(x) = 2\cos(3x + \frac{\pi}{4})$

(4) $f(x) = e^{4x - 1}$

(5) $f(x) = -\log(2x + 3)$

(6) $f(x) = x\sin x$

(7) $f(x) = e^{3x}\cos 2x$

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1. 次の不定積分を求めよ。

(1) $\int (2x^3 + 3x^2 - x + 2) dx$

(2) $\int \frac{2x - 3}{x^2} dx$

(3) $\int 2^x dx$

(4) $\int (3\sin x - 2\cos x) dx$

(5) $\int (3x + 4)^5 dx$

(6) $\int e^{2x - 3} dx$

(7) $\int \sin 4x dx$

(8) $\int \frac{1}{3x + 2} dx$

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2. 解き方の手順**

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0. 導関数**

(1) $f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x - 5$

$f'(x) = 6x^2 - 8x + 3$

(2) $f(x) = \sin 2x$

$f'(x) = 2\cos 2x$

(3) $f(x) = 2\cos(3x + \frac{\pi}{4})$

$f'(x) = -6\sin(3x + \frac{\pi}{4})$

(4) $f(x) = e^{4x - 1}$

$f'(x) = 4e^{4x - 1}$

(5) $f(x) = -\log(2x + 3)$

$f'(x) = -\frac{2}{2x + 3}$

(6) $f(x) = x\sin x$

$f'(x) = \sin x + x\cos x$

(7) $f(x) = e^{3x}\cos 2x$

$f'(x) = 3e^{3x}\cos 2x - 2e^{3x}\sin 2x = e^{3x}(3\cos 2x - 2\sin 2x)$

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1. 不定積分**

(1) $\int (2x^3 + 3x^2 - x + 2) dx$

$= \frac{1}{2}x^4 + x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 2x + C$

(2) $\int \frac{2x - 3}{x^2} dx = \int (\frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}) dx$

$= 2\log|x| + \frac{3}{x} + C$

(3) $\int 2^x dx$

$= \frac{2^x}{\log 2} + C$

(4) $\int (3\sin x - 2\cos x) dx$

$= -3\cos x - 2\sin x + C$

(5) $\int (3x + 4)^5 dx$

$= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} (3x + 4)^6 + C = \frac{1}{18}(3x + 4)^6 + C$

(6) $\int e^{2x - 3} dx$

$= \frac{1}{2} e^{2x - 3} + C$

(7) $\int \sin 4x dx$

$= -\frac{1}{4}\cos 4x + C$

(8) $\int \frac{1}{3x + 2} dx$

$= \frac{1}{3} \log|3x + 2| + C$

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3. 最終的な答え**

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0. 導関数**

(1) $f'(x) = 6x^2 - 8x + 3$

(2) $f'(x) = 2\cos 2x$

(3) $f'(x) = -6\sin(3x + \frac{\pi}{4})$

(4) $f'(x) = 4e^{4x - 1}$

(5) $f'(x) = -\frac{2}{2x + 3}$

(6) $f'(x) = \sin x + x\cos x$

(7) $f'(x) = e^{3x}(3\cos 2x - 2\sin 2x)$

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1

1. 不定積分**

(1) $\frac{1}{2}x^4 + x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 2x + C$

(2) $2\log|x| + \frac{3}{x} + C$

(3) $\frac{2^x}{\log 2} + C$

(4) $-3\cos x - 2\sin x + C$

(5) $\frac{1}{18}(3x + 4)^6 + C$

(6) $\frac{1}{2} e^{2x - 3} + C$

(7) $-\frac{1}{4}\cos 4x + C$

(8) $\frac{1}{3} \log|3x + 2| + C$