関数 $f(x) = x + \sqrt{1-x^2}$ の最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x + \sqrt{1-x^2}$ の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、定義域を考えます。平方根の中身が0以上でなければならないので、$1-x^2 \ge 0$ より、$x^2 \le 1$。よって、$-1 \le x \le 1$ が定義域となります。

次に、$f(x)$ の導関数を求めます。

$f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(-2x) = 1 - \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$1 = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

$\sqrt{1-x^2} = x$

両辺を2乗して、$1-x^2 = x^2$

$2x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{2}$

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

ここで、$\sqrt{1-x^2} = x$ という条件から、$x$ は正でなければならないので、$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ のみが解となります。

次に、増減表を作ります。定義域は $-1 \le x \le 1$ であり、極値の候補は $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$f'(-1)$は定義されない。

$f'(0) = 1 > 0$

$f'(1) =$定義されない。

$f(x)$ の値は、定義域の端点 $x=-1, 1$ と極値の候補 $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ で調べます。

$f(-1) = -1 + \sqrt{1-(-1)^2} = -1 + 0 = -1$

$f(1) = 1 + \sqrt{1-1^2} = 1 + 0 = 1$

$f(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

よって、最大値は $\sqrt{2}$、最小値は $-1$ となります。

3. 最終的な答え

最大値: $\sqrt{2}$

最小値: $-1$