曲線 $y = e^x$ 上を動く点Pの時刻$t$における座標を$(x(t), y(t))$とし、Pの速度ベクトルを$\vec{v} = (\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt})$、加速度ベクトルを$\vec{a} = (\frac{d^2x}{dt^2}, \frac{d^2y}{dt^2})$とする。すべての時刻$t$で$|\vec{v}| = 1$かつ$\frac{dx}{dt} > 0$であるとき、以下の問いに答えよ。 (1) Pが点$(s, e^s)$を通過する時刻における速度ベクトル$\vec{v}$を$s$を用いて表せ。 (2) Pが点$(s, e^s)$を通過する時刻における加速度ベクトル$\vec{a}$を$s$を用いて表せ。 (3) Pが曲線全体を動くとき、$|\vec{a}|$の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = e^x$ 上を動く点Pの時刻$t$における座標を$(x(t), y(t))$とし、Pの速度ベクトルを$\vec{v} = (\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt})$、加速度ベクトルを$\vec{a} = (\frac{d^2x}{dt^2}, \frac{d^2y}{dt^2})$とする。すべての時刻$t$で$|\vec{v}| = 1$かつ$\frac{dx}{dt} > 0$であるとき、以下の問いに答えよ。

(1) Pが点$(s, e^s)$を通過する時刻における速度ベクトル$\vec{v}$を$s$を用いて表せ。

(2) Pが点$(s, e^s)$を通過する時刻における加速度ベクトル$\vec{a}$を$s$を用いて表せ。

(3) Pが曲線全体を動くとき、$|\vec{a}|$の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y = e^x$より、$\frac{dy}{dt} = e^x \frac{dx}{dt}$である。

速度ベクトルの大きさは1なので、

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = 1$

$(\frac{dx}{dt})^2 + (e^x \frac{dx}{dt})^2 = 1$

$(\frac{dx}{dt})^2 (1 + e^{2x}) = 1$

$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{\sqrt{1 + e^{2x}}}$ （$\frac{dx}{dt} > 0$より正の方をとる）

$\frac{dy}{dt} = e^x \frac{dx}{dt} = \frac{e^x}{\sqrt{1 + e^{2x}}}$

したがって、$\vec{v} = (\frac{1}{\sqrt{1 + e^{2x}}}, \frac{e^x}{\sqrt{1 + e^{2x}}})$

Pが点$(s, e^s)$を通過するとき、$x = s$なので、

$\vec{v} = (\frac{1}{\sqrt{1 + e^{2s}}}, \frac{e^s}{\sqrt{1 + e^{2s}}})$

(2) $\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{d}{dt} (\frac{1}{\sqrt{1 + e^{2x}}}) = \frac{d}{dx} (\frac{1}{\sqrt{1 + e^{2x}}}) \frac{dx}{dt} = -\frac{1}{2} (1 + e^{2x})^{-3/2} \cdot 2e^{2x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + e^{2x}}} = -\frac{e^{2x}}{(1 + e^{2x})^2}$

$\frac{d^2y}{dt^2} = \frac{d}{dt} (\frac{e^x}{\sqrt{1 + e^{2x}}}) = \frac{d}{dx} (\frac{e^x}{\sqrt{1 + e^{2x}}}) \frac{dx}{dt} = \frac{e^x \sqrt{1 + e^{2x}} - e^x \frac{1}{2} (1 + e^{2x})^{-1/2} 2e^{2x}}{1 + e^{2x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + e^{2x}}} = \frac{e^x(1 + e^{2x}) - e^{3x}}{(1 + e^{2x})^2} = \frac{e^x}{(1 + e^{2x})^2}$

したがって、$\vec{a} = (-\frac{e^{2x}}{(1 + e^{2x})^2}, \frac{e^x}{(1 + e^{2x})^2})$

Pが点$(s, e^s)$を通過するとき、$x = s$なので、

$\vec{a} = (-\frac{e^{2s}}{(1 + e^{2s})^2}, \frac{e^s}{(1 + e^{2s})^2})$

(3) $|\vec{a}|^2 = (\frac{e^{2x}}{(1 + e^{2x})^2})^2 + (\frac{e^x}{(1 + e^{2x})^2})^2 = \frac{e^{4x} + e^{2x}}{(1 + e^{2x})^4} = \frac{e^{2x} (e^{2x} + 1)}{(1 + e^{2x})^4} = \frac{e^{2x}}{(1 + e^{2x})^3}$

$f(x) = \frac{e^{2x}}{(1 + e^{2x})^3}$とおく。

$f'(x) = \frac{2e^{2x} (1 + e^{2x})^3 - e^{2x} 3 (1 + e^{2x})^2 2e^{2x}}{(1 + e^{2x})^6} = \frac{2e^{2x} (1 + e^{2x}) - 6e^{4x}}{(1 + e^{2x})^4} = \frac{2e^{2x} + 2e^{4x} - 6e^{4x}}{(1 + e^{2x})^4} = \frac{2e^{2x} - 4e^{4x}}{(1 + e^{2x})^4} = \frac{2e^{2x}(1 - 2e^{2x})}{(1 + e^{2x})^4}$

$f'(x) = 0$ となるのは、$1 - 2e^{2x} = 0$、つまり、$e^{2x} = \frac{1}{2}$のとき。このとき、$e^x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$f(x) = \frac{\frac{1}{2}}{(1 + \frac{1}{2})^3} = \frac{\frac{1}{2}}{(\frac{3}{2})^3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{27} = \frac{4}{27}$

したがって、$|\vec{a}| = \sqrt{\frac{4}{27}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{v} = (\frac{1}{\sqrt{1 + e^{2s}}}, \frac{e^s}{\sqrt{1 + e^{2s}}})$

(2) $\vec{a} = (-\frac{e^{2s}}{(1 + e^{2s})^2}, \frac{e^s}{(1 + e^{2s})^2})$

(3) $|\vec{a}|$の最大値は $\frac{2\sqrt{3}}{9}$