広義積分 $\int_{1}^{\infty} \log\left(1 + \frac{1}{x^2}\right) dx$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

広義積分 $\int_{1}^{\infty} \log\left(1 + \frac{1}{x^2}\right) dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、部分積分を用いて積分を計算します。

$u = \log\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)$, $dv = dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{1 + \frac{1}{x^2}} \cdot \left(-\frac{2}{x^3}\right) dx = \frac{x^2}{x^2 + 1} \cdot \left(-\frac{2}{x^3}\right) dx = -\frac{2}{x(x^2+1)} dx$, $v = x$ となります。

$\int_{1}^{\infty} \log\left(1 + \frac{1}{x^2}\right) dx = \left[x \log\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)\right]_{1}^{\infty} - \int_{1}^{\infty} x \left(-\frac{2}{x(x^2+1)}\right) dx$

$= \left[x \log\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)\right]_{1}^{\infty} + 2 \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2+1} dx$

$x \to \infty$ のとき、$x \log\left(1 + \frac{1}{x^2}\right) \approx x \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x} \to 0$

$x = 1$ のとき、$x \log\left(1 + \frac{1}{x^2}\right) = \log(1+1) = \log 2$

したがって、$\left[x \log\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)\right]_{1}^{\infty} = 0 - \log 2 = -\log 2$

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2+1} dx = [\arctan x]_{1}^{\infty} = \arctan(\infty) - \arctan(1) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$

よって、

$\int_{1}^{\infty} \log\left(1 + \frac{1}{x^2}\right) dx = -\log 2 + 2 \cdot \frac{\pi}{4} = -\log 2 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - \log 2$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2} - \log 2$