関数 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ のマクローリン展開を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ のマクローリン展開を求める問題です。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数を原点（$x=0$）の周りでべき級数として表現するものです。

この問題では、等比数列の公式を利用します。

まず、$x^2$を $-u$ とおくと、$u = -x^2$ です。

$$\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \frac{1}{1-u}$$

これは、初項 $1$、公比 $u = -x^2$ の等比数列の和と見なせます。

等比数列の和は、 $|u|<1$ のとき、

$$\frac{1}{1-u} = 1 + u + u^2 + u^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} u^n$$

となります。ここで、$u = -x^2$ を代入すると、

$$\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots$$

が得られます。この級数は、$\left| -x^2 \right| < 1$、つまり $|x| < 1$ で収束します。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{1+x^2}$ のマクローリン展開は、

$$1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$$

です。