## 1. 問題の内容

##

1. 問題の内容

次の3つの不定積分を計算する問題です。

(1) $\int (x^2 + 2x)e^x dx$

(2) $\int (x^2 - 3) \sin(2x) dx$

(3) $\int x^2 \cos(1 - 2x) dx$

##

2. 解き方の手順

### (1) $\int (x^2 + 2x)e^x dx$

部分積分を2回使用します。まず、$u = x^2 + 2x$ と $dv = e^x dx$ とおきます。すると、$du = (2x + 2)dx$ と $v = e^x$ となります。部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を適用すると、

$\int (x^2 + 2x)e^x dx = (x^2 + 2x)e^x - \int e^x (2x + 2) dx$

次に、$\int e^x (2x + 2) dx$ を計算します。$u = 2x + 2$ と $dv = e^x dx$ とおくと、$du = 2 dx$ と $v = e^x$ となります。部分積分の公式を適用すると、

$\int (2x + 2)e^x dx = (2x + 2)e^x - \int e^x (2) dx = (2x + 2)e^x - 2e^x + C_1$

これを最初の式に代入すると、

$\int (x^2 + 2x)e^x dx = (x^2 + 2x)e^x - [(2x + 2)e^x - 2e^x] + C = (x^2 + 2x)e^x - (2x + 2)e^x + 2e^x + C = x^2 e^x + C$

### (2) $\int (x^2 - 3) \sin(2x) dx$

部分積分を2回使用します。まず、$u = x^2 - 3$ と $dv = \sin(2x) dx$ とおきます。すると、$du = 2x dx$ と $v = -\frac{1}{2} \cos(2x)$ となります。部分積分の公式を適用すると、

$\int (x^2 - 3) \sin(2x) dx = (x^2 - 3) \left(-\frac{1}{2} \cos(2x)\right) - \int \left(-\frac{1}{2} \cos(2x)\right) (2x) dx = -\frac{1}{2} (x^2 - 3) \cos(2x) + \int x \cos(2x) dx$

次に、$\int x \cos(2x) dx$ を計算します。$u = x$ と $dv = \cos(2x) dx$ とおくと、$du = dx$ と $v = \frac{1}{2} \sin(2x)$ となります。部分積分の公式を適用すると、

$\int x \cos(2x) dx = x \left(\frac{1}{2} \sin(2x)\right) - \int \frac{1}{2} \sin(2x) dx = \frac{1}{2} x \sin(2x) - \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2} \cos(2x)\right) + C_1 = \frac{1}{2} x \sin(2x) + \frac{1}{4} \cos(2x) + C_1$

これを最初の式に代入すると、

$\int (x^2 - 3) \sin(2x) dx = -\frac{1}{2} (x^2 - 3) \cos(2x) + \frac{1}{2} x \sin(2x) + \frac{1}{4} \cos(2x) + C = -\frac{1}{2} x^2 \cos(2x) + \frac{3}{2} \cos(2x) + \frac{1}{2} x \sin(2x) + \frac{1}{4} \cos(2x) + C = -\frac{1}{2} x^2 \cos(2x) + \frac{1}{2} x \sin(2x) + \frac{7}{4} \cos(2x) + C$

### (3) $\int x^2 \cos(1 - 2x) dx$

変数変換を行います。$t = 1 - 2x$ とおくと、$x = \frac{1 - t}{2}$ となり、$dx = -\frac{1}{2} dt$ となります。よって、

$\int x^2 \cos(1 - 2x) dx = \int \left(\frac{1 - t}{2}\right)^2 \cos(t) \left(-\frac{1}{2}\right) dt = -\frac{1}{8} \int (1 - 2t + t^2) \cos(t) dt = -\frac{1}{8} \int (\cos(t) - 2t \cos(t) + t^2 \cos(t)) dt$

それぞれの積分を計算します。

* $\int \cos(t) dt = \sin(t) + C_1$

* $\int t \cos(t) dt = t \sin(t) - \int \sin(t) dt = t \sin(t) + \cos(t) + C_2$ (部分積分)

* $\int t^2 \cos(t) dt = t^2 \sin(t) - \int 2t \sin(t) dt = t^2 \sin(t) - 2 \left(-t \cos(t) + \int \cos(t) dt \right) = t^2 \sin(t) + 2t \cos(t) - 2 \sin(t) + C_3$ (部分積分を2回)

これらをまとめると、

$\int x^2 \cos(1 - 2x) dx = -\frac{1}{8} [\sin(t) - 2(t \sin(t) + \cos(t)) + (t^2 \sin(t) + 2t \cos(t) - 2 \sin(t))] + C = -\frac{1}{8} [\sin(t) - 2t \sin(t) - 2 \cos(t) + t^2 \sin(t) + 2t \cos(t) - 2 \sin(t)] + C = -\frac{1}{8} [- \sin(t) - 2t \sin(t) + 2t \cos(t) - 2 \cos(t) + t^2 \sin(t) ] + C = -\frac{1}{8} [ (t^2 - 2t - 1) \sin(t) + (2t-2) \cos(t) ] + C$

$t = 1 - 2x$ を代入すると、

$\int x^2 \cos(1 - 2x) dx = -\frac{1}{8} [ ((1-2x)^2 - 2(1-2x) - 1) \sin(1 - 2x) + (2(1-2x)-2) \cos(1 - 2x) ] + C = -\frac{1}{8} [ (1 - 4x + 4x^2 - 2 + 4x - 1) \sin(1 - 2x) + (2 - 4x - 2) \cos(1 - 2x) ] + C = -\frac{1}{8} [ (4x^2 - 2) \sin(1 - 2x) - 4x \cos(1 - 2x) ] + C = -\frac{1}{4} (2x^2 - 1) \sin(1 - 2x) + \frac{1}{2} x \cos(1 - 2x) + C$

##

3. 最終的な答え

(1) $\int (x^2 + 2x)e^x dx = x^2 e^x + C$

(2) $\int (x^2 - 3) \sin(2x) dx = -\frac{1}{2} x^2 \cos(2x) + \frac{1}{2} x \sin(2x) + \frac{7}{4} \cos(2x) + C$

(3) $\int x^2 \cos(1 - 2x) dx = -\frac{1}{4} (2x^2 - 1) \sin(1 - 2x) + \frac{1}{2} x \cos(1 - 2x) + C$