$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x - x}{x^3}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x - x}{x^3}$ を計算します。

2. 解き方の手順

ロピタルの定理を適用します。$\sin^{-1} x$ のマクローリン展開を利用しても解けます。ここでは、ロピタルの定理を適用します。

まず、$x \to 0$ のとき、分子 $\sin^{-1} x - x \to 0$ であり、分母 $x^3 \to 0$ であるので、不定形 $\frac{0}{0}$ の形です。したがって、ロピタルの定理が適用できます。

分子を微分すると $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - 1$ 、分母を微分すると $3x^2$ となります。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - 1}{3x^2}$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、再度ロピタルの定理を適用します。

分子を微分すると $\frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}$ 、分母を微分すると $6x$ となります。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{6(1-x^2)^{3/2}}$

ここで、$x \to 0$ を代入すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{6(1-x^2)^{3/2}} = \frac{1}{6(1-0)^{3/2}} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}$