関数 $f(x) = x^x$ について、$\lim_{x \to +0} f(x)$ を求め、さらに $x \to +0$ のときの $f'(x)$ の振る舞いを求める問題です。選択肢から適切なものを選択します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^x$ について、$\lim_{x \to +0} f(x)$ を求め、さらに $x \to +0$ のときの $f'(x)$ の振る舞いを求める問題です。選択肢から適切なものを選択します。

2. 解き方の手順

まず、$\lim_{x \to +0} x^x$ を計算します。$y = x^x$ と置くと、$\ln y = x \ln x$ です。

$\lim_{x \to +0} x \ln x$ を計算するために、ロピタルの定理を使います。

$x \ln x = \frac{\ln x}{1/x}$ と変形すると、$\lim_{x \to +0} \frac{\ln x}{1/x}$ は $\frac{-\infty}{\infty}$ の不定形になるので、ロピタルの定理が使えます。

$\lim_{x \to +0} \frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to +0} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to +0} (-x) = 0$

したがって、$\lim_{x \to +0} \ln y = 0$ なので、$\lim_{x \to +0} y = e^0 = 1$ となります。

よって、$\lim_{x \to +0} x^x = 1$ です。

次に、$f'(x)$ を求めます。$f(x) = x^x$ より、$\ln f(x) = x \ln x$ なので、両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{f'(x)}{f(x)} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$

したがって、$f'(x) = f(x) (\ln x + 1) = x^x (\ln x + 1)$ となります。

$x \to +0$ のとき、$x^x \to 1$ であり、$\ln x \to -\infty$ なので、$\ln x + 1 \to -\infty$ となります。

よって、$f'(x) \to -\infty$ となります。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to +0} f(x) = 1$ なので、ク は「1に収束する」。

$x \to +0$ のとき、$f'(x)$ は $-\infty$ に発散するので、ケ は「-∞に発散する」。