(1) $sin(2\theta) > cos(\theta)$ を満たす $\theta$ の範囲を $0 \le \theta < 2\pi$ で求めます。 (2) $2sin(\theta)cos(\theta)(2cos(\theta)+1) \ge 0$ を満たす $\theta$ の範囲を $0 \le \theta < 2\pi$ で求めます。

1. 問題の内容

(1) $sin(2\theta) > cos(\theta)$ を満たす $\theta$ の範囲を $0 \le \theta < 2\pi$ で求めます。

(2) $2sin(\theta)cos(\theta)(2cos(\theta)+1) \ge 0$ を満たす $\theta$ の範囲を $0 \le \theta < 2\pi$ で求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$sin(2\theta) = 2sin(\theta)cos(\theta)$ を用いて不等式を変形します。

$2sin(\theta)cos(\theta) > cos(\theta)$

$2sin(\theta)cos(\theta) - cos(\theta) > 0$

$cos(\theta)(2sin(\theta) - 1) > 0$

したがって、$cos(\theta) > 0$ かつ $2sin(\theta) - 1 > 0$、または、$cos(\theta) < 0$ かつ $2sin(\theta) - 1 < 0$ のいずれかが成り立ちます。

(i) $cos(\theta) > 0$ かつ $2sin(\theta) - 1 > 0$ のとき

$cos(\theta) > 0$ より $0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$ または $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$

$sin(\theta) > \frac{1}{2}$ より $\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{6}$

よって、$\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{2}$

(ii) $cos(\theta) < 0$ かつ $2sin(\theta) - 1 < 0$ のとき

$cos(\theta) < 0$ より $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{2}$

$sin(\theta) < \frac{1}{2}$ より $0 \le \theta < \frac{\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} < \theta < 2\pi$

よって、$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{5\pi}{6}$

(i), (ii) より、$\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{2}$ または $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{5\pi}{6}$ であるから、

$\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{6}$

(2)

$2sin(\theta)cos(\theta)(2cos(\theta)+1) \ge 0$

$sin(2\theta)(2cos(\theta)+1) \ge 0$

したがって、$sin(2\theta) \ge 0$ かつ $2cos(\theta)+1 \ge 0$、または、$sin(2\theta) \le 0$ かつ $2cos(\theta)+1 \le 0$ のいずれかが成り立ちます。

(i) $sin(2\theta) \ge 0$ かつ $2cos(\theta)+1 \ge 0$ のとき

$sin(2\theta) \ge 0$ より $0 \le 2\theta \le \pi$ または $2\pi \le 2\theta < 4\pi$

よって、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ または $\pi \le \theta < 2\pi$

$cos(\theta) \ge -\frac{1}{2}$ より $0 \le \theta \le \frac{2\pi}{3}$ または $\frac{4\pi}{3} \le \theta < 2\pi$

よって、$0 \le \theta \le \frac{2\pi}{3}$ または $\frac{4\pi}{3} \le \theta < 2\pi$

(ii) $sin(2\theta) \le 0$ かつ $2cos(\theta)+1 \le 0$ のとき

$sin(2\theta) \le 0$ より $\pi \le 2\theta \le 2\pi$ または $2\pi \le 2\theta < 4\pi$

よって、$\frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi$ または $\frac{3\pi}{2} \le \theta < 2\pi$

$cos(\theta) \le -\frac{1}{2}$ より $\frac{2\pi}{3} \le \theta \le \frac{4\pi}{3}$

よって、$\frac{2\pi}{3} \le \theta \le \pi$

(i), (ii) より、$0 \le \theta \le \frac{2\pi}{3}$ または $\frac{2\pi}{3} \le \theta \le \pi$ または $\frac{4\pi}{3} \le \theta < 2\pi$ であるから、$0 \le \theta \le \pi$ または $\frac{4\pi}{3} \le \theta < 2\pi$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{6}$

(2) $0 \le \theta \le \pi$ または $\frac{4\pi}{3} \le \theta < 2\pi$