(a) 関数 $y = |x^3(x-1)|$ について、$x=0$ および $x=1$ における連続性と微分可能性を調べよ。 (b) 関数 $y = \frac{1}{1+2|x|}$ について、$x=0$ における連続性と微分可能性を調べよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

(a) 関数 $y = |x^3(x-1)|$ について、$x=0$ および $x=1$ における連続性と微分可能性を調べよ。

(b) 関数 $y = \frac{1}{1+2|x|}$ について、$x=0$ における連続性と微分可能性を調べよ。

2. 解き方の手順

(a) $y = |x^3(x-1)|$ について

まず、関数を絶対値記号を外して表します。

$x^3(x-1) \geq 0$ のとき $y = x^4 - x^3$

$x^3(x-1) < 0$ のとき $y = -x^4 + x^3$

この関数は、$x=0$ および $x=1$ で連続です。なぜなら、$y(0) = |0^3(0-1)| = 0$ および $y(1) = |1^3(1-1)| = 0$ であり、これらの点において関数は定義されているからです。

次に、$x=0$ および $x=1$ での微分可能性を調べます。

$y = |x^3(x-1)|$ を微分すると、

$y' = |4x^3 - 3x^2|$ と**簡単には**なりません。

$x>1$ または $x < 0$のとき $y'(x) = 4x^3 - 3x^2$

$0<x<1$ のとき $y'(x) = -4x^3 + 3x^2$

$x=0$ での微分可能性：

$x \to +0$ のとき、$y'(x) = -4x^3 + 3x^2 \to 0$

$x \to -0$ のとき、$y'(x) = 4x^3 - 3x^2 \to 0$

したがって、$x=0$ で微分可能です。

$x=1$ での微分可能性：

$x \to 1+0$ のとき、$y'(x) = 4x^3 - 3x^2 \to 1$

$x \to 1-0$ のとき、$y'(x) = -4x^3 + 3x^2 \to -1$

右側極限と左側極限が異なるため、$x=1$ で微分不可能です。

(b) $y = \frac{1}{1+2|x|}$ について

$x=0$ での連続性：

$x \to 0$ のとき、$y = \frac{1}{1+2|0|} = 1$。関数は $x=0$ で定義され、その値は $1$ です。

$x \to 0+0$ のとき、$y = \frac{1}{1+2x} \to 1$

$x \to 0-0$ のとき、$y = \frac{1}{1-2x} \to 1$

したがって、$x=0$ で連続です。

$x=0$ での微分可能性：

$x > 0$ のとき、$y = \frac{1}{1+2x}$ なので、$y' = -\frac{2}{(1+2x)^2}$

$x < 0$ のとき、$y = \frac{1}{1-2x}$ なので、$y' = \frac{2}{(1-2x)^2}$

$x \to +0$ のとき、$y' \to -2$

$x \to -0$ のとき、$y' \to 2$

右側極限と左側極限が異なるため、$x=0$ で微分不可能です。

3. 最終的な答え

(a) $y = |x^3(x-1)|$ について

$x=0$ で連続かつ微分可能

$x=1$ で連続だが微分不可能

(b) $y = \frac{1}{1+2|x|}$ について

$x=0$ で連続だが微分不可能