(1) $\sqrt{24}$ の近似値を求める。 (2) $x \gg \Delta x$ のとき、$\sqrt{\frac{x}{x - \Delta x}}$ の近似値を、 $(\Delta x)^2$ 以下の項を省略して求める。

1. 問題の内容

(1) $\sqrt{24}$ の近似値を求める。

(2) $x \gg \Delta x$ のとき、$\sqrt{\frac{x}{x - \Delta x}}$ の近似値を、 $(\Delta x)^2$ 以下の項を省略して求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{24} = \sqrt{25 - 1} = \sqrt{25(1 - \frac{1}{25})} = 5 \sqrt{1 - \frac{1}{25}}$ と変形する。

ここで、$1 - \frac{1}{25}$ を $1 - x$ と見ると、$\sqrt{1-x} \approx 1 - \frac{x}{2}$ （$x$ が小さいとき）が成り立つことを利用する。

$\sqrt{1 - \frac{1}{25}} \approx 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{25} = 1 - \frac{1}{50} = \frac{49}{50}$ となる。

したがって、$\sqrt{24} \approx 5 \cdot \frac{49}{50} = \frac{49}{10} = 4.9$

(2) $\sqrt{\frac{x}{x - \Delta x}} = \sqrt{\frac{x}{x(1 - \frac{\Delta x}{x})}} = \sqrt{\frac{1}{1 - \frac{\Delta x}{x}}} = \left( 1 - \frac{\Delta x}{x} \right)^{-\frac{1}{2}}$ と変形する。

$\frac{\Delta x}{x}$ を $z$ とおくと、$x \gg \Delta x$ より $z = \frac{\Delta x}{x} \ll 1$ である。

したがって、$(1 - z)^{-\frac{1}{2}} \approx 1 + \frac{1}{2} z$ と近似できる。（$z$ が小さいとき）

よって、$\left( 1 - \frac{\Delta x}{x} \right)^{-\frac{1}{2}} \approx 1 + \frac{1}{2} \frac{\Delta x}{x}$

したがって、$\sqrt{\frac{x}{x - \Delta x}} \approx 1 + \frac{\Delta x}{2x}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{24} \approx 4.9$

(2) $\sqrt{\frac{x}{x - \Delta x}} \approx 1 + \frac{\Delta x}{2x}$