与えられた10個の関数を $x$ で微分しなさい。

1. 問題の内容

与えられた10個の関数を $x$ で微分しなさい。

2. 解き方の手順

(1) $3x^3$ の微分：

$d/dx(3x^3) = 3 \cdot 3x^{3-1} = 9x^2$

(2) $x^3 + 2x^2 + 4$ の微分：

$d/dx(x^3 + 2x^2 + 4) = 3x^{3-1} + 2 \cdot 2x^{2-1} + 0 = 3x^2 + 4x$

(3) $\frac{x^3 + x^6}{3}$ の微分：

$d/dx(\frac{x^3 + x^6}{3}) = \frac{1}{3} d/dx(x^3 + x^6) = \frac{1}{3}(3x^{3-1} + 6x^{6-1}) = \frac{1}{3}(3x^2 + 6x^5) = x^2 + 2x^5$

(4) $\sqrt{x}$ の微分：

$\sqrt{x} = x^{1/2}$ なので、

$d/dx(x^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

(5) $\frac{1}{\sqrt{x}}$ の微分：

$\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$ なので、

$d/dx(x^{-1/2}) = -\frac{1}{2}x^{-1/2 - 1} = -\frac{1}{2}x^{-3/2} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$

(6) $\sin x + \cos x$ の微分：

$d/dx(\sin x + \cos x) = \cos x - \sin x$

(7) $\frac{e^x}{2}$ の微分：

$d/dx(\frac{e^x}{2}) = \frac{1}{2} d/dx(e^x) = \frac{e^x}{2}$

(8) $\frac{1}{2} \log_e x$ の微分：

$d/dx(\frac{1}{2} \log_e x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2x}$

(9) $(x+2)(x^2-3x+1)$ の微分：

まず展開する：

$(x+2)(x^2-3x+1) = x^3 - 3x^2 + x + 2x^2 - 6x + 2 = x^3 - x^2 - 5x + 2$

微分する：

$d/dx(x^3 - x^2 - 5x + 2) = 3x^2 - 2x - 5$

(10) $\cos(3x+\pi)$ の微分：

$d/dx(\cos(3x+\pi)) = -\sin(3x+\pi) \cdot d/dx(3x+\pi) = -\sin(3x+\pi) \cdot 3 = -3\sin(3x+\pi)$

3. 最終的な答え

(1) $9x^2$

(2) $3x^2 + 4x$

(3) $x^2 + 2x^5$

(4) $\frac{1}{2\sqrt{x}}$

(5) $-\frac{1}{2x\sqrt{x}}$

(6) $\cos x - \sin x$

(7) $\frac{e^x}{2}$

(8) $\frac{1}{2x}$

(9) $3x^2 - 2x - 5$

(10) $-3\sin(3x+\pi)$