与えられた無限等比級数 $1 - \frac{x-1}{3} + \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(x-1)^3}{27} + \cdots$ が収束するような実数 $x$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

与えられた無限等比級数 $1 - \frac{x-1}{3} + \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(x-1)^3}{27} + \cdots$ が収束するような実数 $x$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

この無限級数は、初項が1、公比が $-\frac{x-1}{3}$ の等比級数です。

等比級数が収束するための条件は、公比の絶対値が1より小さいことです。

したがって、次の不等式が成り立つ必要があります。

$|-\frac{x-1}{3}| < 1$

この不等式を解きます。

$\frac{|x-1|}{3} < 1$

$|x-1| < 3$

$-3 < x-1 < 3$

両辺に1を加えます。

$-3 + 1 < x < 3 + 1$

$-2 < x < 4$

したがって、無限等比級数が収束するための $x$ の範囲は、$-2 < x < 4$ です。

3. 最終的な答え

$-2 < x < 4$