無限等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} 3(\frac{1}{2})^{n-1}$ の和を求めよ。

1. 問題の内容

無限等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} 3(\frac{1}{2})^{n-1}$ の和を求めよ。

2. 解き方の手順

無限等比級数の和の公式は、初項を $a$、公比を $r$ とすると、$|r| < 1$ のとき、

$$S = \frac{a}{1 - r}$$

で与えられます。

この問題では、

- 初項 $a$ は $n=1$ のときの項の値なので、$a = 3(\frac{1}{2})^{1-1} = 3(\frac{1}{2})^0 = 3(1) = 3$ です。

- 公比 $r$ は $\frac{1}{2}$ です。なぜなら、$3(\frac{1}{2})^{n-1}$ の $n$ が1増えるごとに $\frac{1}{2}$ がかけられるからです。

- $|r| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$ なので、無限等比級数の和は収束し、上記の公式が適用できます。

よって、無限等比級数の和 $S$ は、

$$S = \frac{3}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 3 \times 2 = 6$$

となります。

3. 最終的な答え

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