$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e (\cos^2 x)}{2x^2}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e (\cos^2 x)}{2x^2}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^2 x = (1 - \sin^2 x)$ と書き換えます。次に、$\log(1+x)$ の $x \to 0$ での近似 $\log(1+x) \approx x$ と、$\sin x$ の $x \to 0$ での近似 $\sin x \approx x$ を使います。

1. 対数の性質を用いて式を書き換えます。

$\log_e(\cos^2 x) = 2\log_e(\cos x)$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e (\cos^2 x)}{2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\log_e (\cos x)}{2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\log_e (\cos x)}{x^2}$

2. $\cos x$ をTaylor展開します。

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \quad (x \to 0)$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e (\cos x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\log_e (1 - \frac{x^2}{2})}{x^2}$

3. $\log(1+x)$ の近似式を用います。

$\log_e (1+x) \approx x \quad (x \to 0)$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e (1 - \frac{x^2}{2})}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2} = -\frac{1}{2}$

または、ロピタルの定理を用いることも可能です。

$\lim_{x \to 0} \frac{\log (\cos^2 x)}{2x^2}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

1. 1回微分

$\frac{d}{dx} \log (\cos^2 x) = \frac{-2\cos x \sin x}{\cos^2 x} = -2\tan x$

$\frac{d}{dx} 2x^2 = 4x$

$\lim_{x \to 0} \frac{-2\tan x}{4x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\tan x}{2x}$

2. 再度ロピタルの定理を使うか、$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ を用います。

$\lim_{x \to 0} \frac{-\tan x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{2} \frac{\tan x}{x} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}$