次の関数のn次導関数を求めよ。 (1) $x^2 e^x$ (2) $\frac{1}{x^2-1}$

1. 問題の内容

次の関数のn次導関数を求めよ。

(1) $x^2 e^x$

(2) $\frac{1}{x^2-1}$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 e^x$のn次導関数を求める。ライプニッツの公式を用いる。

$u = x^2$, $v = e^x$とおくと、

$u^{(0)} = x^2$, $u^{(1)} = 2x$, $u^{(2)} = 2$, $u^{(k)} = 0$ for $k \ge 3$

$v^{(k)} = e^x$ for all $k$

ライプニッツの公式より、

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$

$(x^2 e^x)^{(n)} = \binom{n}{0} x^2 e^x + \binom{n}{1} 2x e^x + \binom{n}{2} 2 e^x$

$= x^2 e^x + 2n x e^x + n(n-1) e^x$

$= (x^2 + 2nx + n(n-1))e^x$

(2) $\frac{1}{x^2-1}$のn次導関数を求める。部分分数分解を用いる。

$\frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$

$1 = A(x+1) + B(x-1)$

$x=1$のとき、$1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$

$x=-1$のとき、$1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$

$\frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right)$

$\left( \frac{1}{x-a} \right)^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(x-a)^{n+1}}$

$\left( \frac{1}{x^2-1} \right)^{(n)} = \frac{1}{2} \left( \frac{(-1)^n n!}{(x-1)^{n+1}} - \frac{(-1)^n n!}{(x+1)^{n+1}} \right)$

$= \frac{(-1)^n n!}{2} \left( \frac{1}{(x-1)^{n+1}} - \frac{1}{(x+1)^{n+1}} \right)$

3. 最終的な答え

(1) $(x^2 e^x)^{(n)} = (x^2 + 2nx + n(n-1))e^x$

(2) $\left( \frac{1}{x^2-1} \right)^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{2} \left( \frac{1}{(x-1)^{n+1}} - \frac{1}{(x+1)^{n+1}} \right)$