逆正接関数 $\arctan^{-1} x$ の積分を計算します。つまり、 $$\int \arctan^{-1} x \, dx$$ を求めます。

1. 問題の内容

逆正接関数 $\arctan^{-1} x$ の積分を計算します。つまり、

$$\int \arctan^{-1} x \, dx$$

を求めます。

2. 解き方の手順

部分積分を使って計算します。

$u = \arctan^{-1} x$ と $dv = dx$ とおきます。

すると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$ であり、$v = x$ となります。

部分積分の公式

$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$

を用いると、

$$\int \arctan^{-1} x \, dx = x \arctan^{-1} x - \int x \cdot \frac{1}{1+x^2} dx$$

ここで、$\int \frac{x}{1+x^2} dx$ を計算します。

$w = 1+x^2$ とおくと、$dw = 2x \, dx$ なので、$x \, dx = \frac{1}{2} dw$ となります。

したがって、

$$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \int \frac{1}{w} \cdot \frac{1}{2} dw = \frac{1}{2} \int \frac{1}{w} dw = \frac{1}{2} \ln |w| + C = \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$$

($1+x^2 > 0$ より、絶対値は不要です。)

これを用いると、

$$\int \arctan^{-1} x \, dx = x \arctan^{-1} x - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$$

3. 最終的な答え

$\int \arctan^{-1} x \, dx = x \arctan^{-1} x - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$