関数 $y = \arctan(\frac{x^2}{2})$ の $x=\sqrt{2}$ における接線を求めよ。ここで、$\arctan$ は $\tan^{-1}$ のことである。

1. 問題の内容

関数 $y = \arctan(\frac{x^2}{2})$ の $x=\sqrt{2}$ における接線を求めよ。ここで、$\arctan$ は $\tan^{-1}$ のことである。

2. 解き方の手順

接線を求めるには、まず導関数 $y'$ を求める必要がある。次に、$x = \sqrt{2}$ における $y'$ の値を計算し、接線の傾きとする。最後に、$x = \sqrt{2}$ における $y$ の値を計算し、接線の式を決定する。

まず、$y$ を $x$ で微分する。$\arctan(u)$ の導関数は $\frac{1}{1 + u^2} \frac{du}{dx}$ である。この問題では、$u = \frac{x^2}{2}$ なので、

$y' = \frac{1}{1 + (\frac{x^2}{2})^2} \cdot \frac{d}{dx}(\frac{x^2}{2})$

$y' = \frac{1}{1 + \frac{x^4}{4}} \cdot x$

$y' = \frac{x}{1 + \frac{x^4}{4}} = \frac{4x}{4 + x^4}$

$x = \sqrt{2}$ のとき、$y' = \frac{4\sqrt{2}}{4 + (\sqrt{2})^4} = \frac{4\sqrt{2}}{4 + 4} = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、$x = \sqrt{2}$ における接線の傾きは $\frac{\sqrt{2}}{2}$ である。

次に、$x = \sqrt{2}$ のときの $y$ の値を求める。

$y = \arctan(\frac{(\sqrt{2})^2}{2}) = \arctan(\frac{2}{2}) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$

接線の式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で表される。ここで、$x_1 = \sqrt{2}$, $y_1 = \frac{\pi}{4}$, $m = \frac{\sqrt{2}}{2}$ である。

したがって、$y - \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(x - \sqrt{2})$

$y = \frac{\sqrt{2}}{2}x - \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{2} + \frac{\pi}{4}$

$y = \frac{\sqrt{2}}{2}x - 1 + \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{\sqrt{2}}{2}x - 1 + \frac{\pi}{4}$