問題は、 $x \geq 0$ のとき、不等式 $\frac{x}{1+x} \leq \log(1+x)$ を示すことです。ここで、$\log$ は自然対数とします。

1. 問題の内容

問題は、 $x \geq 0$ のとき、不等式 $\frac{x}{1+x} \leq \log(1+x)$ を示すことです。ここで、$\log$ は自然対数とします。

2. 解き方の手順

関数 $f(x) = \log(1+x) - \frac{x}{1+x}$ を定義し、$x \geq 0$ で $f(x) \geq 0$ であることを示します。

まず、$f(0)$ を計算します。

$f(0) = \log(1+0) - \frac{0}{1+0} = \log(1) - 0 = 0$

次に、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2} = \frac{1}{1+x} - \frac{1+x-x}{(1+x)^2} = \frac{1}{1+x} - \frac{1}{(1+x)^2}$

$f'(x) = \frac{(1+x) - 1}{(1+x)^2} = \frac{x}{(1+x)^2}$

$x \geq 0$ のとき、$f'(x) \geq 0$ です。したがって、$f(x)$ は $x \geq 0$ で単調増加です。

$f(0) = 0$ であり、$f(x)$ は単調増加なので、$x \geq 0$ のとき $f(x) \geq 0$ です。

したがって、$\log(1+x) - \frac{x}{1+x} \geq 0$ となり、$\frac{x}{1+x} \leq \log(1+x)$ が成立します。

3. 最終的な答え

$x \geq 0$ のとき、$\frac{x}{1+x} \leq \log(1+x)$ が成立する。