関数 $y = x^3 - 6x + a$ の極大値と極小値がともに正となるように、定数 $a$ の値の範囲を定める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 - 6x + a$ の極大値と極小値がともに正となるように、定数 $a$ の値の範囲を定める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $y$ を微分して、$y'$ を求めます。

$y' = 3x^2 - 6$

(2) $y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$3x^2 - 6 = 0$

$3x^2 = 6$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

よって、$x = \sqrt{2}$ と $x = -\sqrt{2}$ が極値を取る候補です。

(3) $y''$ を求め、$x = \sqrt{2}$ と $x = -\sqrt{2}$ での $y''$ の符号を調べます。

$y'' = 6x$

$y''(\sqrt{2}) = 6\sqrt{2} > 0$ なので、$x = \sqrt{2}$ で極小値を取ります。

$y''(-\sqrt{2}) = -6\sqrt{2} < 0$ なので、$x = -\sqrt{2}$ で極大値を取ります。

(4) 極大値と極小値を求めます。

極大値: $y(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^3 - 6(-\sqrt{2}) + a = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + a = 4\sqrt{2} + a$

極小値: $y(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 - 6(\sqrt{2}) + a = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + a = -4\sqrt{2} + a$

(5) 極大値と極小値がともに正となる条件を求めます。

$4\sqrt{2} + a > 0$ かつ $-4\sqrt{2} + a > 0$

$a > -4\sqrt{2}$ かつ $a > 4\sqrt{2}$

よって、$a > 4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$a > 4\sqrt{2}$