関数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ の最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、関数を変形して扱いやすくします。

$f(x) = \frac{x^2 + 1 - 2}{x^2 + 1} = 1 - \frac{2}{x^2 + 1}$

次に、$x^2$ の範囲を考えます。$x$ は任意の実数なので、$x^2 \geq 0$ です。

したがって、$x^2 + 1 \geq 1$ となります。

次に、$\frac{1}{x^2 + 1}$ の範囲を考えます。

$x^2 + 1 \geq 1$ なので、$\frac{1}{x^2 + 1} \leq 1$ であり、また、$x^2 + 1$ は常に正であるため、$\frac{1}{x^2 + 1} > 0$ です。

したがって、$0 < \frac{1}{x^2 + 1} \leq 1$ となります。

次に、$\frac{2}{x^2 + 1}$ の範囲を考えます。

$0 < \frac{1}{x^2 + 1} \leq 1$ なので、$0 < \frac{2}{x^2 + 1} \leq 2$ となります。

最後に、$f(x) = 1 - \frac{2}{x^2 + 1}$ の範囲を考えます。

$0 < \frac{2}{x^2 + 1} \leq 2$ なので、$-2 \leq -\frac{2}{x^2 + 1} < 0$ となります。

したがって、$1 - 2 \leq 1 - \frac{2}{x^2 + 1} < 1$ となり、$-1 \leq f(x) < 1$ です。

$f(x)$ が最小値を取るのは、$\frac{2}{x^2 + 1}$ が最大値を取るときです。$\frac{2}{x^2 + 1}$ が最大値2を取るのは、$x^2 + 1 = 1$ すなわち $x = 0$ のときです。このとき、$f(0) = 1 - 2 = -1$ となります。

$f(x)$ が最大値を取るのは、$\frac{2}{x^2 + 1}$ が最小値を取るときです。$\frac{2}{x^2 + 1}$ は、$x^2$ が大きくなるほど小さくなります。$x$ が無限大に近づくとき、$f(x)$ は1に近づきますが、1を超えることはありません。したがって、最大値は存在しません。しかし、$x$ が非常に大きいとき、$f(x)$ は 1 に限りなく近づきます。

3. 最終的な答え

最大値：なし

最小値：-1 （x=0 のとき）