与えられた積分 $\int x^2 e^{3x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x^2 e^{3x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は、部分積分を繰り返し用いて解きます。部分積分の公式は、$\int u dv = uv - \int v du$ です。

ステップ1:

$u = x^2$、 $dv = e^{3x} dx$ とします。すると、$du = 2x dx$、$v = \int e^{3x} dx = \frac{1}{3}e^{3x}$ となります。

部分積分の公式を適用すると、

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\int x^2 e^{3x} dx = x^2 \cdot \frac{1}{3}e^{3x} - \int \frac{1}{3}e^{3x} \cdot 2x dx = \frac{1}{3}x^2 e^{3x} - \frac{2}{3} \int x e^{3x} dx

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ステップ2:

残りの積分 $\int x e^{3x} dx$ を部分積分で計算します。

$u = x$、$dv = e^{3x} dx$ とします。すると、$du = dx$、$v = \int e^{3x} dx = \frac{1}{3}e^{3x}$ となります。

部分積分の公式を適用すると、

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\int x e^{3x} dx = x \cdot \frac{1}{3}e^{3x} - \int \frac{1}{3}e^{3x} dx = \frac{1}{3}xe^{3x} - \frac{1}{3} \int e^{3x} dx = \frac{1}{3}xe^{3x} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} e^{3x} = \frac{1}{3}xe^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x}

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ステップ3:

ステップ2の結果をステップ1の式に代入します。

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\int x^2 e^{3x} dx = \frac{1}{3}x^2 e^{3x} - \frac{2}{3} \left(\frac{1}{3}xe^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x}\right) = \frac{1}{3}x^2 e^{3x} - \frac{2}{9}xe^{3x} + \frac{2}{27}e^{3x} + C

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ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

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\int x^2 e^{3x} dx = \frac{1}{3}x^2 e^{3x} - \frac{2}{9}xe^{3x} + \frac{2}{27}e^{3x} + C = e^{3x} \left(\frac{1}{3}x^2 - \frac{2}{9}x + \frac{2}{27}\right) + C

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