与えられた極限値を求めます。 $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2}n} \left( \frac{1}{\sqrt{n+1}} + \frac{1}{\sqrt{n+2}} + \frac{1}{\sqrt{n+3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n+n}} \right) $$

1. 問題の内容

与えられた極限値を求めます。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2}n} \left( \frac{1}{\sqrt{n+1}} + \frac{1}{\sqrt{n+2}} + \frac{1}{\sqrt{n+3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n+n}} \right)$$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式をシグマ記号を用いて書き換えます。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2}n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n+k}}$$

次に、$\sqrt{n}$でくくりだします。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2}n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n}\sqrt{1+\frac{k}{n}}}$$

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2}n^{\frac{3}{2}}} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{k}{n}}}$$

ここで、積分を用いて極限を計算します。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2}n^{\frac{3}{2}}} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{k}{n}}}$$

積分表示にするために、$\frac{1}{n}$が必要なので、以下のように変形します。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{n}} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{k}{n}}}$$

積分を用いて書き換えます。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{n}} \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+x}} dx$$

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2n}} \int_{0}^{1} (1+x)^{-\frac{1}{2}} dx$$

積分を計算します。

$$\int_{0}^{1} (1+x)^{-\frac{1}{2}} dx = \left[ 2(1+x)^{\frac{1}{2}} \right]_{0}^{1} = 2(\sqrt{2} - 1)$$

したがって、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2n}} 2(\sqrt{2}-1) = 2(\sqrt{2}-1) \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2n}} = 2(\sqrt{2}-1) \cdot 0 = 0$$

3. 最終的な答え

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